Câu 75 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC cân tạiA) Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Tính số đo góc BCD

Giải

Ta có: ∆ABC cân tại A

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat {{C_1}}\) (tính chất tam giác cân)

Lại có: AD = AB (gt)

=>AD = AC do đó ∆ACD cân tại A

\( \Rightarrow \widehat D = \widehat {{C_2}}\) (tính chất tam giác cân)

Mà \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}}\)

Nên \(\widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat B + \widehat D\)                 (1)

Trong ∆BCD, ta có:

\(\widehat B + \widehat D + \widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác)      (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(2\widehat {BC{\rm{D}}} = 180^\circ \) hay \(\widehat {BC{\rm{D}}} = 90^\circ \)

Câu 76 trang 147 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh bên bằng 3cm. Gọi D là một điểm thuộc đáy BC. Qua D, kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên, chúng cắt AB và AC theo thứ tự tại F và E. Tính tổng DE + DF.

Giải

Ta có: DF // AC (gt)

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat C\) (hai góc đồng vị)   (1)

Lại có: ∆ABC cân tại A

\( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) (tính chất tam giác cân)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B = \widehat {{D_1}}\)

Hay ∆BFD cân tại F => BF = DF

Nối AD. Xét ∆AFD và  ∆DEA, ta có:

\(\widehat {A{\rm{D}}F} = \widehat {E{\rm{AD}}}\) (so le trong vì DF // AC)

AD cạnh chung

\(\widehat {F{\rm{D}}A} = \widehat {E{\rm{D}}A}\) (so le trong vì DE // AB)

Suy ra: ∆ADF =  ∆DAE (g.c.g) => AF  = DF (hai cạnh tương ứng)

Vậy:  DE + DF = AF + BF = AB = 3(cm)

Câu 77 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA  sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng ∆DEF là tam giác đều.

Giải

Ta có:       AB = AD +  DB                   (1)

                  BC = BE + EC                    (2)

                  AC = AF + FC                     (3)

                  AB = AC  = BC (gt)             (4)

                  AD = BE = CF (gt)              (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra:

                 BD = EC = AF

Xét ∆ADF và ∆BED, ta có:

           AD = BE (gt)

           \(\widehat A = \widehat B = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều)

            AE = BD (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ADF =  ∆BED   (c.g.c)                   

Suy ra: DF = DE (hai cạnh tương ứng)           (6)

Xét ∆ADF và ∆CFE ta có:

              AD = CF (gt)

             \(\widehat A = \widehat C = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều)

             EC = AF (chứng minh trên)        

Suy ra : ∆ADF = ∆CFE (c.g.c)

Suy ra: DF = FE (hai cạnh tương ứng)          (7)

Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE

Vậy ∆DEF đều.

Câu 78 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC. Gọi giao điểm của đường thẳng này với AB, AC theo thứ tự là D, E. Chứng minh rằng  DE = BD + CE

Giải

Ta có: DI // BC (gt)

\( \Rightarrow \widehat {{I_1}} = \widehat {{B_1}}\) (so le trong)            (1)

Lại có: \({\widehat B_1} = \widehat {{B_2}}\)                         (2)

(vì BI là tia phân giác của \(\widehat B\))

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {{I_1}} = \widehat {{B_2}}\)

\( \Rightarrow \) ∆BDI cân tại D => BD = DI                                   (3)

Mà IE // BC (gt) => \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_1}}\) (so le trong)                       (4)

Đồng thời: \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) (Vì CI là tia phân giác của \(\widehat {{C_1}}\))        (5)

Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{C_2}}\) => ∆CEI cân tại E

\( \Rightarrow \) CE = EI (hai cạnh tương ứng)                               (6)     

Từ (3) và (6) suy ra: BD + CE = DI + EI = DE.

Giaibaitap.me