Câu 78 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D. Chứng minh rằng BD vuông góc với AC.

Giải

∆ABC cân tại A, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường cao.

Do đó:

\(\eqalign{
& A{\rm{D}} \bot BC \cr
& CH \bot AB\left( {gt} \right) \cr} \)

Trong ∆ABC có hai đường cao AD và CH cắt nhau tại D nên D là trực tâm của ∆ABC, do đó BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B đến cạnh đối diện AC.

Vậy \(B{\rm{D}} \bot AC\).

Câu 79 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2

Cho tam giác ABC có AB = AC = 13cm, BC = 10cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM.

Giải

∆ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao.

\( \Rightarrow AM \bot BC\)

\(MB = MC = {1 \over 2}BC = 5\left( {cm} \right)\)

Trong tam giác vuông AMB có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \)

Theo định lý Pytago ta có:  

\(A{B^2} = A{M^2} + M{B^2}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow A{M^2} = A{B^2} - M{B^2} = {15^2} - {5^2} \cr
& = 169 - 25 = 144 \Rightarrow AM = 12\left( {cm} \right) \cr} \)

Câu 80 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2

Cho tam giác ABC có \(\widehat B,\widehat C\) là các góc nhọn, AC < AB. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng \(\widehat {AHB} < \widehat {HAC}\).

Giải

Trong ∆ABC ta có: AC > AB

\(\Rightarrow \widehat B > \widehat C\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn)

Trong ∆AHB có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat B + \widehat {{A_1}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)        (1)

Trong ∆AHC có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat C + \widehat {{A_2}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông)       (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B + \widehat {{A_1}} = \widehat C + \widehat {{A_2}}\)

Mà \(\widehat B > \widehat C\) nên \(\widehat {{A_1}} < \widehat {{A_2}}\)

Câu 81 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2

Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF (hình dưới)

a) Chứng minh rằng A là trung điểm EF.

b) Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác nào?

Giải

a) Xét ∆ABC và ∆ACE:

\(\widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (so le trong, AE // BC)

AC cạnh chung 

\(\widehat {CAB} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (so le trong, CE // AB)

Do đó:  ∆ABC = ∆CEA (g.c.g)

\( \Rightarrow \) AE = BC        (1)

Xét ∆ABC và ∆ABF:

\(\widehat {ABC} = \widehat {{\rm{BAF}}}\) (so le trong, BF // AC)

AC cạnh chung

\(\widehat {BAC} = \widehat {ABF}\) (so le trong, BF // AC)

Do đó: ∆ABC = ∆BAF (g.c.g)

\( \Rightarrow \) AF = BC            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF. Vậy A là trung điểm EF.

b) Kẻ \({\rm{A}}H \bot BC\)

           EF // BC    (gt)

\( \Rightarrow \) \(AH \bot EF\)

      AE = AF (chứng minh trên)

Vậy đường cao AH là đường trung trực của EF.

Chứng minh tương tự câu a, ta có B là trung điểm DF và DF // AC nên đường cao kẻ từ đỉnh B của  ∆ABC là đường trung trực DFF.

Ta có C là trung điểm DE và DE // AB nên đường cao kẻ từ đỉnh C của ∆ABC là đường trung trực của DE.

Giaibaitap.me