Bài 1 trang 78 sách giáo khoa Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ HM vuông góc với BC tại M. Tia MH cắt tia CA tại N. Chứng minh rằng CH vuông góc với NB.

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A theo giả thiết nên BA vuông góc với AC

Vì HM cắt AC tại N mà HM vuông góc với BC (giả thiết)

$\Rightarrow$ NM vuông góc với BC tại M

Xét tam giác NBC có NM và BA là 2 đường cao

Mà MN cắt AB tại H nên H là trực tâm của tam giác NBC

$\Rightarrow$ CH đường cao của tam giác NBC (3 đường cao của tam giác đi qua 1 điểm)

$\Rightarrow$ CH vuông góc với NB

Bài 2 trang 78 sách giáo khoa Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Lời giải:

Gọi D giao điểm của tia phân giác của góc B và MC

Xét tam giác BDM và tam giác BDC có :

BD chung

$\widehat {MBD} = \widehat {CBD}$ ( BD là phân giác của góc B)

BM = BC ( giả thiết )

( \Rightarrow \Delta BDM=\Delta BDC\)(c.g.c)

$\Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {BDC}$(2 góc tương ứng)

Mà 2 góc ở vị trí kề bù $\Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {BDC} = {90^o} \Rightarrow BD \bot CM$

Mà AC cắt BD tại H $\Rightarrow$ H là trực tâm tam giác BMC

$\Rightarrow$ MH là đường cao của tam giác BMC (định lí 3 đường cao đi qua trực tâm tam giác)

$\Rightarrow$ MH vuông góc với BC

Bài 3 trang 78 sách giáo khoa Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC                                b) BE vuông góc với DC

Lời giải:

a) Vì tam giác ABC vuông cân tại A

$\Rightarrow$ $\widehat B = \widehat C = {45^o}$(2 góc ở đáy bằng nhau)

Xét tam giác AED có :

AE = AD

AC vuông góc với AB

$\Rightarrow$ Tam giác AED vuông cân tại A

$\Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {AED} = {45^o}$

Mà $\widehat {AED};\widehat {CEF}$là 2 góc đối đỉnh $\Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {CEF} = {45^o}$

Xét tam giác CEF áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có :

$\Rightarrow \widehat F + \widehat C + \widehat E = {180^o}$

$\Rightarrow \widehat F = {180^o} - {45^o} - {45^o} = {90^o} \Rightarrow EF \bot BC \Rightarrow DE \bot BC$

b) Vì DE vuông góc với BC $\Rightarrow$ DE là đường cao của tam giác BCD

Vì AC cắt DE tại E nên E là trực tâm tam giác BCD (Do AC cũng là đường cao của tam giác BCD)

$\Rightarrow$BE cùng là đường cao của tam giác BCD (định lí 3 đường cao trong tam giác đi qua trực tâm)

$\Rightarrow$BE vuông góc với DC

Bài 4 trang 78 sách giáo khoa Toán 7 Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AB, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải:

Xét tam giác BFC và tam giác BEC có :

BC chung

FC = BE

$\widehat {BFC} = \widehat {BEC} = {90^o}$

 ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat C = \widehat B$ ( 2 góc tương ứng ) (1)

Xét tam giác CFA và tam giác ADC ta có :

CF = AD

AC chung

$\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = {90^o}$

(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$\Rightarrow \widehat C = \widehat A$(2 góc tương ứng ) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat C = \widehat A = \widehat B$ $\Rightarrow$Tam giác ABC là tam giác đều do có 3 góc bằng nhau 

Giaibaitap.me