Câu 99 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Kẻ BH vuông góc với AD, kẻ CK vuông góc với AE. Chứng minh rằng:

a) BH = CK

b) ∆ABH = ∆ACK

Giải

a) Vì ∆ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân)

Ta có: \(\widehat {ABC} + \widehat {AB{\rm{D}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

           \(\widehat {ACB} + \widehat {AC{\rm{E}}} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

Suy ra: \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\)

Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có:

                  AB = AC (gt)

                  \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (chứng minh trên)

                  BD = CE (gt)

Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat D = \widehat E\) (hai góc tương ứng)

Xét hai tam giác vuông BHD và CKE, ta có:

            \(\widehat {BH{\rm{D}}} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)

            BD = CE (gt)

            \(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆BHD = ∆CKE (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: BH = CK (hai cạnh tương ứng)

Xét tam giác vuông AHB và ACK, ta có:

             \(\widehat {AHB} = \widehat {AKC} = 90^\circ \)

             AB = AC (gt)

             BH = CK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Câu 100 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc A.

Hướng dẫn: Từ I kẻ các đường thẳng vuông góc với các cạnh của tam giác ABC.

Giải

Kẻ: \(I{\rm{D}} \bot AB,IE \bot BC,{\rm{IF}} \bot {\rm{A}}C\)

Xét hai tam giác vuông IDB và IEB, ta có:

\(\eqalign{
& \widehat {I{\rm{D}}B} = \widehat {IEB} = 90^\circ \cr
& \widehat {DBI} = \widehat {EBI}\left( {gt} \right) \cr} \)

BI cạnh huyền chung

\( \Rightarrow \) ∆IDB = ∆IEB (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: ID = IE (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IEC và IFC, ta có ;

\(\eqalign{
& \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr
& \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \cr} \)

CI canh huyền chung

Suy ra:  ∆ IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: IE = IF (hai cạnh tương ứng)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ID = IF

Xét hai tam giác vuông IDA và IFA, ta có:

            \(\widehat {I{\rm{D}}A} = \widehat {IFA} = 90^\circ \)

            ID = IF (chứng minh trên)

            AI cạnh huyền chung

Suy ra: ∆IDA = ∆IFA (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra: \(\widehat {DAI} = \widehat {FAI}\) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat A\)

Câu 101 trang 151 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt đường trung trực của BC tại I. Kẻ IH vuông góc với đường thẳng AB, kẻ IK vuông góc với đường thẳng AC. Chứng minh rằng BH = CK.

Giải

Xét ∆BMI và ∆CMI, ta có:

                 BM = CM (gt)

                 \(\widehat {BMI} = \widehat {CMI} = 90^\circ \)

                  MI cạnh chung 

Suy ra: ∆BMI = ∆CMI (c.g.c)

\( \Rightarrow \) IB = IC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHA và IKA, có:               

\(\eqalign{
& \widehat {IHA} = \widehat {IK{\rm{A}}} = 90^\circ \cr
& \widehat {HAI} = \widehat {K{\rm{A}}I}\left( {gt} \right) \cr} \)

AI cạnh huyền chung

Suy ra: ∆IHA = ∆IKA (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: IH = IK (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông IHB và IKC, có:

                  \(\widehat {IHB} = \widehat {IKC} = 90^\circ \)

                  IB = IK (chứng minh trên)

                  IH = IK (chứng minh trên)

Suy ra: ∆IHB = ∆IKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Vậy BH = CK (2 cạnh tương ứng)

Giaibaitap.me