Câu 61 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chứng minh rằng:

a) ∆BAD = ∆ACE

b) DE = BD + CE

Giải

a) Ta có: \(\widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {BAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 180^\circ \) (kề bù)

Mà \(\widehat {BAC} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \)            (1)

Trong ∆AEC, ta có:

\(\widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {AC{\rm{E}}}{\rm{ = 90}}^\circ \)                   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {AC{\rm{E}}}\)

Xét hai tam giác vuông AEC và BDA, ta có: 

\(\widehat {A{\rm{E}}C} = \widehat {B{\rm{D}}A} = 90^\circ \)

AC = AB (gt)

\(\widehat {AC{\rm{E}}} = \widehat {BA{\rm{D}}}\) (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆AEC = ∆BDA (cạnh huyền, góc nhọn)

b) Ta có: ∆AEC = ∆BDA

=> AE = BD và EC = DA

Mà DE = DA + AE

Vậy: DE = CE + BD 

Câu 62 trang 145 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC. Vẽ ở phía ngoài tam giác ABC các tam giác  vuông tại A là ABD, ACE có AB = AD, AC = AE. Kẻ AH vuông góc với BC, DM vuông góc với AH, EN vuông góc với AH. Chứng minh rằng:

a) DM = AH

b) MN đi qua trung điểm của DE

Giải

a) Ta có \(\widehat {BAH} + \widehat {BA{\rm{D}}} + \widehat {DAM} = 180^\circ \) (kề bù)

Mà  \(\widehat {BA{\rm{D}}} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {BAH} + \widehat {DAM} = 90^\circ \)      (1)

Trong tam giác vuông AMD, ta có:

\(\widehat {AM{\rm{D }}} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {DAM} + \widehat {A{\rm{D}}M} = 90^\circ \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\)

Xét hai tam giác vuông AMD và BHA, ta có:

\(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {BAH} = 90^\circ \)

AB = AD (gt)

\(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{D}}M}\) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆AMD = ∆BHA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy: AH = DM (2 cạnh tương ứng)     (3)

b) Ta có: \(\widehat {HAC} + \widehat {CA{\rm{E}}} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 180^\circ \) (kề bù)

Mà \(\widehat {CA{\rm{E}}} = 90^\circ \left( {gt} \right) \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {E{\rm{A}}N} = 90^\circ \)     (4)

Trong tam giác vuông AHC, ta có:

\(\widehat {AHC} = 90^\circ  \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat {HCA} = 90^\circ \left( 5 \right)\)

Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\)

Xét hai tam giác vuông AHC và ENA, ta có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {E{\rm{N}}A} = 90^\circ \)

AC = AE (gt)

\(\widehat {HCA} = \widehat {E{\rm{A}}N}\) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆AHC = ∆ENA (cạnh huyền, góc nhọn)

Vậy AH = EN (2 cạnh tương ứng)

Từ (3) và (6)  suy ra : DM = EN

Vì \(DM \bot AH\) và \(EN \bot AH\) nên DM // EN (2 đường thẳng cùng vuông góc đường thẳng thứ 3)

Gọi O là giao điểm MN và DE

Xét hai tam giác vuông DMO và ENO, ta có:

\(\widehat {DMO} = \widehat {EN{\rm{O}}} = 90^\circ \)

DM = EN (chứng minh trên)

\(\widehat {M{\rm{D}}O} = \widehat {NEO}\) (so le trong)

Suy ra: ∆DMO = ∆ENO (g.c.g) => OD = DE

Vậy MN đi qua trung điểm của DE.

Câu 63 trang 146 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Chứng minh rằng:

a) AD = EF

b) ∆ADE =∆EFC

c) AE = EC

Giải

a) Xét ∆DBF và ∆FDE, ta có ;

\(\widehat {B{\rm{D}}F} = \widehat {DF{\rm{E}}}\) (so le trong vì EF // AB)

DF cạnh chung

\(\widehat {DFB} = \widehat {F{\rm{D}}E}\) (so le trong vì DE // BC)

Suy ra: ∆DBF = ∆FED(g.c.g) =>DB = EF (2 cạnh tương ứng)

Mà AD = DB (gt)

Vậy: AD  = EF

b) Ta có: DE // BC (gt)

\( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat B\) (đồng vị)

EF // AB (gt)

\( \Rightarrow \widehat {{F_1}} = \widehat B\) (đồng vị)

\(\widehat {{E_1}} = \widehat A\) (đồng vị)

Xét ∆ADE và ∆ EFC, ta có:

\(\widehat A = \widehat {{E_1}}\) (chứng minh trên)

AD = EF (chứng minh trên)

\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\) (vì cùng bằng \(\widehat B\)) 

Suy ra: ∆ADE = ∆ EFC (g.c.g)

c) Vì ∆ADE = ∆ EFC (chứng minh trên)

Nên AE = EC (hai cạnh tương ứng)

Giaibaitap.me