Bài 51 trang 59 sgk Toán 9 tập 2

Bài 51. Người ta đổ thêm $200$ g nước vào một dung dịch chứa $40$ g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi $10$ %. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước ?

Bài giải:

Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: $x$ (g), $x > 0$

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là: $\frac{40}{x + 40}$

Nếu đổ thêm $200$ g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là: $x + 40 + 200$ (g)

Nồng độ của dung dịch bây giờ là: $\frac{40}{x + 240}$

Vì nồng độ muối giảm $10$% nên ta có phương trình:

$\frac{40}{x + 40}$ - $\frac{40}{x + 240}$ = $\frac{10}{100}$

Giải phương trình:

$(x + 40)(x + 240) = 400(x + 240 - x - 40)$

hay $x^2 + 280x - 70400 = 0$

$\Delta' = 19600 + 70400 = 90000$, $\sqrt{\Delta'} = 300$

${x_1} = 160, {x_2} = -440$

Vì $x > 0$ nên ${x_2} = -440$ (loại)

Vậy trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có $160$ g nước.

Bài 52 trang 60 sgk Toán 9 tập 2

Bài 52. Khoảng cách giữa hai bên sông A và B là $30$ km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ $40$ phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả $6$ giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy là $3$ km/h.

Bài giải:

Gọi vận tốc thực của canô là $x$ (km/h), $x > 3$ , nên vận tốc khi đi xuôi dòng là: $x + 3$ (km/h) và vận tốc khi ngược dòng là: $x - 3$ (km/h)

Thời gian xuôi dòng là: $\frac{30}{x + 3}$ (giờ)

Thời gian ngược dòng là: $\frac{30}{x - 3}$ (giờ)

Nghỉ lại $40$ phút hay $\frac{2}{3}$ giờ ở B.

Theo đầu bài kể từ khi khời hành đến khi về tới bến A hết tất cả $6$ giờ nên ta có phương trình: $\frac{30}{x+ 3}+ \frac{30}{x- 3}+ \frac{2}{3} = 6$

Giải phương trình:

$16(x + 3)(x - 3) = 90(x + 3 + x - 3)$ hay: $4x^2 - 45x - 36 = 0$

$\Delta = 2025 + 576 = 2601, \sqrt{\Delta} = 51$

${x_1} = 12, {x_2} = -\frac{3}{4}$ (loại)

 Vậy vận tốc của canô trong nước yên lặng là $12$ km/h.

Bài 53 trang 60 sgk Toán 9 tập 2

Bài 53. Tỉ số vàng. Đố em chia được đoan AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16).

Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước công nguyên. Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là $x$.

Bài giải:

Giả sử$M$ là điểm chia đoạn $AB$ và $AB$ có độ dài bằng $a$.

Gọi độ dài của $AM = x, 0 < x < a$. Khi đó $MB = a - x$.

Theo đầu bài: ${{AM} \over {AB}} = {{MB} \over {AM}}$ hay ${x \over a} = {{a - x} \over x}$

Giải phương trình: $x^2 = a(a - x)$ hay $x^2 + ax - a^2= 0$

$\Delta = a^2 + 4a^2= 5a^2 , \sqrt{\Delta}= a\sqrt{5}$

${x_1} = {{ - a + a\sqrt 5 } \over 2} = {{a(\sqrt 5  - 1)} \over 2},{x_2} = {{ - a(\sqrt 5  + 1)} \over 2}$

Vì $x > 0$ nên ${x_2}$ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy $AM={{a(\sqrt 5  - 1)} \over 2}$

Tỉ số cần tìm là: ${{AM} \over {AB}} = {{\sqrt 5  - 1} \over 2}$

Giaibaitap.me