Bài 38 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Bài 38. Hãy tính thể tích , diện tích bề mặt một chi tiết máy theo kích thước đã cho trên hình 114.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: Thể tích phần cần tính là tổng thể tích của hai hình trụ có đường kính là \(11cm\) và chiều cao là \(2cm\).

\({V_1} = \pi {R^2}{h_1} = \pi {\left( {{{11} \over 2}} \right)^2}.2 = 60,5\pi \left( {c{m^3}} \right)\) 

Thể tích hình trụ có đường kính đáy là \(6cm\), chiều cao là \(7cm\)

\({V_2} = \pi {R^2}{h_2} = \pi {\left( {{6 \over 2}} \right)^2}.7 = 63\pi \left( {c{m^3}} \right)\) 

Vậy thể tích của chi tiết máy cần tính là:

\(V = {V_1} + {V_2} = 60,5\pi  + 63\pi  = 123,5\pi (c{m^3})\)

Tương tự, theo đề bài diện tích bề mặt của chi tiết máy bằng tổng diện tích xung quanh cua hai chi tiết máy.

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy \(11 cm\) và chiều cao là \(2cm\) là: 

\({S_{xq(1)}} = 2\pi R{h_1} = 2\pi {{11} \over 2}.2 = 22\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích xung quanh của hình trụ có đường kính đáy là \(6cm\) và chiều cao là \(7cm\) là:

\({S_{xq(2)}} = 2\pi R{h_2} = 2\pi {6 \over 2}.7 = 42\pi \left( {c{m^2}} \right)\) 

Vậy diện tích bề mặt của chi tiết máy là:

\(S = {S_{xq(1)}} + {\rm{ }}{S_{xq(2)}} = 22\pi  + 42\pi  = 64\pi (c{m^2})\)

Bài 39 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Bài 39. Một hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB > AD\), diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là \(2a^2\) và \(6a\). Cho hình vẽ quay xung quanh cạnh \(AB\), ta được một hình trụ.

Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.

Hướng dẫn trả lời:

Theo đề bài ta có:

Diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là: \(AB.AD = 2a^2\) (1)

Chu vi hình chữ nhật  là: \(2(AB + CD) = 6a ⇒ AB + CD = 3a\) (2)

Từ (1) và (2), ta có \(AB\) và \(CD\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2}-{\rm{ }}3ax{\rm{ }}-{\rm{ }}2{a^2} = {\rm{ }}0\)

Giải phương trình ta được: \({x_1} = {\rm{ }}2a;{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}a\)

Theo giả thiết \(AB > AD\) nên ta chọn \(AB = 2a; AD = a\)

Vậy diện tích xung quanh hình trụ là:

\({S_{xq}} = 2\pi .AD.AB = 2\pi .a.2a = 4{\rm{ }}\pi {a^2}\)

Thể tích hình trụ là:

\(V{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}A{D^2}.{\rm{ }}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{a^2}.{\rm{ }}2a{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {a^3}\)

Bài 40 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Bài 34. Hãy tính diện tích toàn phần của các hình tương ứng theo các kích thước đã cho trên hình 115.

Hướng dẫn trả lời:

- Với hình a:

\({S_{tp}} = {\rm{ }}{S_{xq}} + {\rm{ }}{S_{day}} = {\rm{ }}\pi rl{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi {r^2}\)

\(= {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}2,5{\rm{ }}.{\rm{ }}5,6{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}2,{5^2} = {\rm{ }}63,59{\rm{ }}({m^2})\)

- Với hình b:

\({S_{tp}} = {\rm{ }}{S_{xq}} + {\rm{ }}{S_{day}} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}3,6{\rm{ }}.{\rm{ }}4,8{\rm{ }} + {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}3,{6^2} \)

\(= {\rm{ }}94,95{\rm{ }}({m^2})\)

Bài 41 trang 129 SGK Toán 9 tập 2

Bài 41. Cho ba điểm \(A, O, B\) thẳng hàng theo thứ tự đó, \(OA = a, OB = b\) (\(a,b\) cùng đơn vị: cm).

Qua \(A\) và \(B\) vẽ theo thứ tự các tia \(Ax\) và \(By\) cùng vuông góc với \(AB\) và cùng phía với \(AB\). Qua \(O\) vẽ hai tia vuông góc với nhau và cắt \(Ax\) ở \(C\), \(By\) ở \(D\) (xem hình 116).

a) Chứng minh \(AOC\) và \(BDO\) là hai tam giác đồng dạng; từ đó suy ra tích \(AC.BD\) không đổi.

b) Tính diện tích hình thang \(ABCD\) khi \(\widehat {COA} = {60^0}\) 

c) Với \(\widehat {COA} = {60^0}\) cho hình vẽ quay xung quanh \(AB\). Hãy tính tỉ số tích các hình do các tam giác \(AOC\) và \(BOD\) tạo thành

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét hai tam giác vuông \(AOC\) và \(BDO\) ta có: \(\widehat A = \widehat B = {90^0}\) 

 \(\widehat {AOC} = \widehat {B{\rm{D}}O}\) (hai góc có cạnh tương ứng vuông góc).

Vậy \(∆AOC\) đồng dạng \(∆BDO\)

\( \Rightarrow {{AC} \over {AO}} = {{BO} \over {B{\rm{D}}}}hay{{AC} \over a} = {b \over {B{\rm{D}}}}\) (1)

Vậy \(AC . BD = a . b =\) không đổi.

b) Khi  thì tam giác \(AOC\) trở thành nửa tam giác đều cạnh là \(OC\), chiều cao \(AC\).

\(\Rightarrow OC = 2{\rm{A}}O = 2{\rm{a}} \Leftrightarrow AC = {{OC\sqrt 3 } \over 2} = a\sqrt 3\)

Thay \(AC = a\sqrt{3}\) vào (1), ta có:

\({{AC} \over a} = {b \over {B{\rm{D}}}} \Rightarrow a\sqrt 3 .B{\rm{D}} = a.b \Rightarrow B{\rm{D}} = {{ab} \over {a\sqrt 3 }} = {{b\sqrt 3 } \over 3}\) 

Ta có công thức tính diện tích hình thang \(ABCD\) là:

\(\eqalign{
& S = {{AC + B{\rm{D}}} \over 2}.AB = {{a\sqrt 3 + {{b\sqrt 3 } \over 3}} \over 2}.\left( {a + b} \right) \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 6}\left( {3{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}}b + {b^2}} \right)\left( {c{m^2}} \right) \cr} \)

c) Theo đề bài ta có:

\(∆AOC\) tạo nên hình nón có bán kính đáy là \(AC = a\sqrt{3}\) và chiều cao là \(AO = a\).

\(∆BOD\) tạo nên hình nón có bán kính đáy là \(B{\rm{D}} = {{b\sqrt 3 } \over 3}\) và chiều cao \(OB = b\)

Ta có: \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{{1 \over 3}\pi .A{C^2}.AO} \over {{1 \over 3}\pi .B{{\rm{D}}^2}.OB}} = {{A{C^2}.AO} \over {B{{\rm{D}}^2}.OB}} = {{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}.a} \over {{{\left( {{{b\sqrt 3 } \over 3}} \right)}^2}.b}} = {{3{{\rm{a}}^3}} \over {{{{b^3}} \over 3}}} = {{9{{\rm{a}}^3}} \over {{b^3}}}\) 

Vậy  \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {{9{{\rm{a}}^3}} \over {{b^3}}}\)

Giaibaitap.me