Bài 42 trang 130 SGK Toán 9 tập 2
Bài 42. Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.117).
Hướng dẫn trả lời:
- Hình a:
Thể tích hình trụ có đường kính đáy \(14cm\), đường cao \(5,8cm\)
\({V_1} = {\rm{ }}\pi {\rm{ }}.{\rm{ }}{r^2}h{\rm{ }} = {\rm{ }}\pi .{\rm{ }}{7^2}.{\rm{ }}5,8{\rm{ }} = {\rm{ }}284,2{\rm{ }}\pi {\rm{ }}(c{m^3})\)
Thể tích hình nón có đường kính đáy \(14cm\) và đường cao \(8,1 cm\).
\({V_2} = {1 \over 3}\pi {r^2}h = {1 \over 3}\pi {.7^2}.8,1 = 132,3\pi \left( {c{m^3}} \right)\)
Vậy thể tích hình cần tính là:
\(V{\rm{ }} = {\rm{ }}{V_1} + {\rm{ }}{V_2} = {\rm{ }}2,84,2\pi {\rm{ }} + {\rm{ }}132,3\pi {\rm{ }} = {\rm{ }}416,5\pi {\rm{ }}(c{m^3})\)
- Hình b)
Thể tích hình nón lớn: \({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}{h_1} = {1 \over 3}\pi {\left( {7,6} \right)^2}.16,4 = 991,47(c{m^3})\)
Thể tích hình nón nhỏ: \({V_2} = {1 \over 3}\pi {r^2}{h_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {3,8} \right)^2}.8,2 = 123,93(c{m^3})\)
Thể tích hình nón cần tính là: \(V{\rm{ }} = {\rm{ }}{V_1}-{\rm{ }}{V_2} = {\rm{ }}991,47{\rm{ }}-{\rm{ }}123,93{\rm{ }} = {\rm{ }}867,54{\rm{ }}c{m^3}\)
Bài 43 trang 130 SGK Toán 9 tập 2
Bài 43. Hãy tính thể tích các hình dưới đây theo kích thước đã cho (h.118) (đơn vị : cm).
Hướng dẫn trả lời:
Hình a.
\(\eqalign{
& V = \pi {\left( {{{12,6} \over 2}} \right)^2}.8,4 + {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {\left( {{{12,6} \over 2}} \right)^3} \cr
& = {1 \over 3}\pi {\left( {6,9} \right)^2}.\left( {8,4 + {{12,6} \over 3}} \right) = 500,094\pi \left( {c{m^3}} \right) \cr} \)
Vậy \(V\)hình a = \(500,094π\) cm3
Hình b.
\(\eqalign{
& V = {1 \over 3}\pi {\left( {6,9} \right)^2}.20 + {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi .{\left( {6,9} \right)^3} \cr
& = {1 \over 3}\pi {\left( {6,9} \right)^2}\left( {20 + 13,8} \right) = 536,406\pi \left( {c{m^3}} \right) \cr} \)
Vậy \(V\)hình b = \(536, 406π\) cm3
Hình c.
\(V = {1 \over 3}\pi {.2^2}.4 + \pi {.2^2}.4 + {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {.2^3}\)
\(= {4.2^2}.\pi \left( {{1 \over 3} + 1 + {1 \over 3}} \right) = {{80\pi } \over 3}\left( {c{m^3}} \right)\)
Vậy \(V\)hình c = \({{80\pi } \over 3}c{m^3}\)
Bài 44 trang 130 SGK Toán 9 tập 2
Bài 44. Cho hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\), bán kính \(R\) và \(GEF\) là tam giác đều nội tiếp đường tròn đó, \(EF\) là dây song song với \(AB\) (h.119). Cho hình đó quay quanh trục \(GO\). Chứng minh rằng:
a) Bình phương thể tích của hình trụ sinh ra bởi hình vuông bằng tích của thể tích hình cầu sinh ra bởi hình tròn và thể tích hình nón do tam giác đều sinh ra.
b) Bình phương diện tích toàn phần của hình trụ bằng tích của diện tích hình cầu và diện tích toàn phần của hình nón.
Hướng dẫn trả lời:
a) Thể tích hình trụ được tạo bởi hình vuông \(ABCD\) là:
\(V = \pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2}.BC\) với \(AB \) là đường chéo của hình vuông có cạnh là \(R\) và \(AB = R\sqrt2\) (\(=BC\))
\(\eqalign{
& V = \pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}.R\sqrt 2 \cr
& = \pi .{{2{{\rm{R}}^2}} \over 4}.R\sqrt 2 = {{\pi {{\rm{R}}^3}\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \Rightarrow {V^2} = \left( {{{\pi {R^3}\sqrt 2 } \over 2}2} \right) = {{2{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(1) \cr}\)
Thể tích hình cầu có bán kính \(R\) là: \({V_1} = {4 \over 3}\pi {R^3}\)
Thể tích hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng \({{EF} \over 2}\) là:
\({V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}.GH\)
Với \(EF = R\sqrt3\) (cạnh tam giác đều nội tiếp trong đường tròn \((O;R)\))
và \(GH = {{EF\sqrt 3 } \over 2} = {{R\sqrt {3.} \sqrt 3 } \over 2} = {{3R} \over 2}\)
Thay vào V2, ta có: \({V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}.{{3{\rm{R}}} \over 2} = {3 \over 8}\pi {R^3}\)
Ta có: \({V_1}{V_2} = {4 \over 3}\pi {R^3}.{3 \over 8}\pi {R^3} = {{{\pi ^2}{R^6}} \over 2}(2)\)
So sánh (1) và (2) ta được : \({V^2} = {V_1}.{V_2}\)
b) Diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính \({{AB} \over 2}\) là:
\(\eqalign{
& S = 2\pi \left( {{{AB} \over 2}} \right).BC + 2\pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi .{{R\sqrt 2 } \over 2}R\sqrt 2 + 2\pi {\left( {{{R\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} \cr
& S = 2\pi {R^2} + \pi {R^2} = 3\pi {R^2} \cr
& \Rightarrow {S^2} = {\left( {3\pi {R^2}} \right)^2} = 9{\pi ^2}.{R^4}(1) \cr} \)
Diện tích mặt cầu có bán kính \(R\) là: \({S_1} = {\rm{ }}4\pi {R^2}\) (2)
Diện tích toàn phần của hình nón là:
\({S_2} = \pi {{EF} \over 2}.FG + \pi {\left( {{{EF} \over 2}} \right)^2}\)
\(= \pi {{R\sqrt 3 } \over 2}.R\sqrt 3 + \pi {\left( {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = {{9\pi {R^2}} \over 4}\)
Ta có: \({S_1}{S_2} = 4\pi {R^2}.{{9\pi {R^2}} \over 4} = 9{\pi ^2}{R^4}(2)\)
So sánh (1) và (2) ta có: \({S^2} = {\rm{ }}{S_1}.{\rm{ }}{S_2}\)
Bài 45 trang 131 SGK Toán 9 tập 2
Bài 45. Hình 120 mô tả một hình cầu được đặt khít vào trong một hình trụ, các kích thước cho trên hình vẽ.
Hãy tính:
a)Thể tích hình cầu.
b) Thể tích hình trụ.
c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu.
d) Thể tích của một hình nón có bán kính đường tròn đáy là \(r cm\) và chiều cao \(2r cm\).
e) Từ các kết quả a), b), c), d) hãy tìm mối liên hệ giữa chúng.
Hướng dẫn trả lời:
a) Thể tích của hình cầu là:
\({V_1} = {4 \over 3}\pi {r^3}(c{m^3})\)
b) Thể tích hình trụ là:
\({V_2} = {\rm{ }}\pi {r^2}.{\rm{ }}2r{\rm{ }} = {\rm{ }}2\pi {r^3}(c{m^3})\)
c) Hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu là:
\({V_3} = {V_2} - {V_1} = 2\pi {r^3} - {4 \over 3}\pi {r^2} = {2 \over 3}\pi {r^3}(c{m^3})\)
d) Thể tích hình nón là:
\({V_4} = {\pi \over 3}{r^2}.2{\rm{r}} = {2 \over 3}\pi {r^3}(c{m^3})\)
e) Từ kết quả ở câu a, b,c, d ta có hệ thức: \({V_4} = {\rm{ }}{V_2}-{\rm{ }}{V_1}\) hay “ Thể tích hình nón nội tiếp trong hình trụ bằng hiệu giữa thể tích hình trụ và thể tích hình cầu nội tiếp trong hình trụ ấy”
Giaibaitap.me
