Bài 40 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 40. Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của đường tròn. Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh SA = SD

Trả lời:

Có: \(\widehat {ADS}=\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{CE}}{2}\) (định lí góc có đỉnh ở ngoài đường tròn).

\(\widehat {SAD}=\frac{1}{2} sđ\overparen{AE}\) (định lí góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung).

Có: \(\widehat {BAE} = \widehat {EAC}\) \(\Rightarrow \) \(\overparen{BE}=\overparen{EC}\)

\(\Rightarrow\) \(sđ\overparen{AB}\)+\(sđ\overparen{EC}\)=\(sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{BE}\)=

\(sđ\overparen{AE}\)

nên \(\widehat {ADS}=\widehat {SAD}\)\(\Rightarrow\) tam giác \(SDA\) cân tại \(S\) hay \(SA=SD\).

Bài 41 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 41. Qua điểm \(A\) nằm bên ngoài đường tròn \((O)\) vẽ hai cát tuyến \(ABC\) và \(AMN\) sao cho hai đường thẳng \(BN\) và \(CM\) cắt nhau tại một điểm \(S\) nằm bên trong đường tròn.

Chứng minh:

                     \(\widehat A + \widehat {B{\rm{S}}M} = 2\widehat {CMN}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có : 

\(\widehat{A}\)+\(\widehat {BSM} = 2\widehat {CMN}\)

\(\widehat A\)=\(\frac{sđ\overparen{CN}-sđ\overparen{BM}}{2}\) (góc \(A\) là góc ngoài \((0)\))  (1)

\(\widehat {BSM}\)=\(\frac{sđ\overparen{CN}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (góc \(S\) là góc trong \((0)\))  (2)

\(\widehat {CMN}\)=\(\frac{sđ\overparen{CN}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\widehat {CMN}\)=\(sđ\overparen{CN}\).  (3)

Cộng (1) và(2) theo vế với vế:

\(\widehat{A}\)+\(\widehat {BSM}\) =\(\frac{2sđ\overparen{CN}+(sđ\overparen{BM}-sđ\overparen{BM)}}{2}\)=\(\overparen{CN}\)

Từ (3) và (4) ta được:  \(\widehat A + \widehat {B{\rm{S}}M} = 2\widehat {CMN}\)

Bài 42 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 42. Cho tam giác \(ABC\) nội tiếp đường tròn. \(P, Q, R\) theo thứ tự là các điểm chính giữa các cung bị chắn \(BC, CA, AB\) bởi các góc \(A, B, C\).

a) Chứng minh \(AP \bot QR\)

b) \(AP\) cắt \(CR\) tại \(I\). Chứng minh tam giác \(CPI\) là tam giác cân

Hướng dẫn giải:

a) Gọi giao điểm của \(AP\) và \(QR\) là \(K\). 

 \(\widehat{AKR}\) là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên 

\(\widehat{AKR}\) = \(\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{QC}+sđ\overparen{CP}}{2}\)=\(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BC}}{4}=90^0\)

Vậy \(\widehat{AKR} = 90^0\) hay \(AP \bot QR\)

b) \(\widehat{CIP}\)  là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn nên:

\(\widehat{CIP}\) = \(\frac{sđ\overparen{AR}+sđ\overparen{CP}}{2}\)    (1)

\(\widehat {PCI}\) góc nội tiếp, nên \(\widehat {PCI}\)= \(\frac{sđ\overparen{RB}+sđ\overparen{BP}}{2}\)    (2)

Theo giả thiết thì cung \(\overparen{AR} = \overparen{RB}\)  (3)

Cung \(\overparen{CP} = \overparen{BP}\)        (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\widehat {CIP}=\widehat {PCI}\). Do đó \(∆CPI\) cân.

Bài 43 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 43. Cho đường tròn \((O)\) và hai dây cung song song \(AB, CD\) (\(A\) và \(C\) nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ \(BD\)); \(AD\) cắt \(BC\) tại \(I\) 

Chứng minh \(\widehat{AOC }\) = \(\widehat{AIC }\).

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết: \(\overparen{AC}\)=\(\overparen{BD}\)  (vì \(AB // CD\))    (1)

\(\widehat{AIC }\) = \(\frac{sđ\overparen{AC}+sđ\overparen{BD}}{2}\)                      (2)

Theo (1) suy ra \(\widehat{AIC }\) = \(sđ\overparen{AC}\)  (3)

\(\widehat{AOC }\) = \(sđ\overparen{AC}\) (góc ở tâm chắn cung \(\overparen{AC}\))  (4)

So sánh (3), (4), ta có \(\widehat{AOC }\) = \(\widehat{AIC }\).

Giaibaitap.me