Bài 36 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 36. Cho đường tròn \((O)\) và hai dây \(AB\), \(AC\). Gọi \(M, N\) lần lượt là điểm chính giữa của cung \(AB\) và cung \(AC\). Đường thẳng \(MN\) cắt dây \(AB\) tại \(E\) và cắt dây \(AC\) tại \(H\). Chứng minh rằng tam giác \(AEH\) là tam giác cân.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\widehat {AHM}\)= \(\frac{sđ\overparen{AM}+sđ\overparen{NC}}{2}\)     (1)

           \(\widehat {AEN}\)= \(\frac{sđ\overparen{MB}+sđ\overparen{AN}}{2}\)           (2)

(Vì  \widehat {AHM}\)và  \(\widehat {AEN}\)là các góc có đỉnh cố định ở bên trong đường tròn).

Theo gỉả thiết thì:

\(\overparen{AM}=\overparen{MB}   (3)\)

\(\overparen{NC}=\overparen{AN}    (4)\)

Từ (1),(2), (3), (4), suy ra \(\widehat {AHM}\)= \(\widehat {AEN}\) do đó \(∆AEH\) là tam giác cân.

Bài 37 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 37. Cho đường tròn \((O)\) và hai dây \(AB\), \(AC\) bằng nhau. Trên cung nhỏ \(AC\) lấy một điểm \(M\). Gọi \(S\) là giao điểm của \(AM\) và \(BC\). Chứng minh: \(\widehat {ASC}\)=\(\widehat {MCA}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\widehat {ASC}\)= \(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{MC}}{2}\)  (1)

(\(\widehat {ASC}\) là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn \((O)\))

và \(\widehat {MCA}\)=\(\frac{sđ\overparen{AM}}{2}\)   (2)

(góc nội tiếp chắn cung \(\overparen{AM}\))

Theo giả thiết thì:

     \(AB = AC =>\)\(\overparen{AB}=\overparen{AC}\)   (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: \(\overparen{AB}-\overparen{MC}=\overparen{AC}-\overparen{MC}=\overparen{AM}\)

Từ đó \(\widehat {ASC}=\widehat {MCA}\).

Bài 38 trang 82 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 38. Trên một đường tròn, lấy liên tiếp ba cung \(AC, CD, DB\) sao cho

\(sđ\overparen{AC}\)=\(sđ\overparen{CD}\)=\(sđ\overparen{DB}\)=\(60^0\). Hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(E\). Hai tiếp tuyến của đường tròn tại \(B\) và \(C\) cắt nhau tại \(T\). Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {AEB}=\widehat {BTC}\);

b) \(CD\) là phân giác của \(\widehat{BTC}\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có \(\widehat{AEB}\) là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn nên:

\(\widehat{AEB}\)=\(\frac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{CD}}{2}\)=\({{{{180}^0} - {{60}^0}} \over 2} = {60^0}\)

và \(\widehat{BTC}\)  cũng là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn ( hai cạnh đều là tiếp tuyến của đường tròn) nên:

\(\widehat{BTC}\)=\(\frac{\widehat {BAC}-\widehat {BDC}}{2}\)=\({{({{180}^0} + {{60}^0}) - ({{60}^0} + {{60}^0})} \over 2} = {60^0}\)

  Vậy \(\widehat {AEB} =\widehat {BTC}\) 

b)  \(\widehat {DCT} \) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung nên:

         \(\widehat {DCT}=\frac{sđ\overparen{CD}}{2}\)

\(\widehat {DCB}\) là góc nội tiếp trên 

          \(\widehat {DCB}=\frac{sđ\overparen{DB}}{2}={{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}\)

Vậy  \(\widehat {DCT}=\widehat {DCB}\)  hay  \(CD\) là phân giác của \(\widehat {BCT} \)

Bài 39 trang 83 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 39. Cho \(AB\) và \(CD\) là hai đường kính vuông góc của đường tròn \((O)\). Trên cung nhỏ \(BD\) lấy một điểm \(M\). Tiếp tuyến tại \(M\) cắt tia \(AB\) ở \(E\), đoạn thẳng \(CM\) cắt \(AB\) ở \(S\).Chứng minh \(ES = EM\).

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\widehat{MSE}\) = \(\frac{sđ\overparen{CA}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (1)

( vì \(\widehat{MSE}\) là góc có đỉnh S ở trong đường tròn (O))

\(\widehat{CME}\) = \(\frac{sđ\overparen{CM}}{2}\)= \(\frac{sđ\overparen{CB}+sđ\overparen{BM}}{2}\) (2)

(\(\widehat{CME}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).

Theo giả thiết         \(\overparen{CA}=\overparen{CB}\)           (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \(\widehat{MSE}\) = \(\widehat{CME}\) từ đó \(∆ESM\) là tam giác cân và \(ES = EM\)

Giaibaitap.me