Bài 31 trang 23 sgk Toán 9 tập 2

31. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm², và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm²

Bài giải:

Gọi \(x\) (cm), \(y\) (cm) là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \(x > 0, y > 0\).

Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng them 36 cm² nên ta được:

\(\frac{(x + 3)(y + 3)}{2}= \frac{xy}{2} + 36\)

Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm 36 cm² nên ta được:

\(\frac{(x - 2)(y- 4)}{2} = \frac{xy}{2} - 26\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (x + 3)(y + 3)= xy + 72 & & \\ (x -2)(y - 4)= xy -52 & & \end{matrix}\right.\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 \hfill \cr
xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x + 3y = 63 \hfill \cr
4x + 2y = 60 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
6x + 6y = 126 \hfill \cr
12x + 6y = 180 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 6x = - 54 \hfill \cr
6x + 6y = 126 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 9 \hfill \cr
y = 12 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm.

Bài 32 trang 23 sgk Toán 9 tập 2

32. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\frac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?

Bài giải:

Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể \((x > 0)\).

\(y\) (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể \((y > 0)\).

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được \(\frac{1}{x}\) bể, vòi thứ hai chảy được \(\frac{1}{y}\) bể.

Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau \(4\frac{4}{5}\) giờ = \(\frac{24}{5}\) giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được \(\frac{5}{24}\) bể.

Ta được: \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{5}{24}\)  (1)

Trong 9 giờ cả vòi một chảy được \(\frac{9}{x}\) bể.

Trong \(\frac{6}{5}\) giờ cả hai vòi chảy được \(\frac{6}{5}\)( \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\)) bể.

Theo đề bài vòi thứ nhất chảy 9h sau mở vòi hai thì sau \(\frac{6}{5}\) giờ thì đầy bể nên ta có:

\(\frac{9}{x}+\frac{6}{5}(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y})=1\)

\( \Leftrightarrow {{51} \over x} + {6 \over y} = 5\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
{1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {24}} \hfill \cr
{{51} \over x} + {6 \over y} = 5 \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ ta được: \(x=12,y=8\)

Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau 8 giờ bể sẽ đầy.

Bài 33 trang 24 sgk Toán 9 tập 2

33. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?

Bài giải:

Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc  trong \(x\) giờ, người thứ hai trong \(y\) giờ. Điều kiện \(x > 0, y > 0\).

Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, người thứ hai \(\frac{1}{y}\) công việc, cả hai người cùng làm chung thì được \(\frac{1}{16}\) công việc.

Ta được \(\frac{1}{x}\) + \(\frac{1}{y}\) = \(\frac{1}{16}\).

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được \(\frac{3}{x}\) công việc, trong 6 giờ người thứ hai làm được \(\frac{6}{y}\) công việc, cả hai người làm được 25% công việc hay \(\frac{1}{4}\) công việc.

Ta được \(\frac{3}{x}\) + \(\frac{6}{y}\) = \(\frac{1}{4}\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} & & \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\).

Giải ra ta được \(x = 24, y = 48\).

Vậy người thứ nhất 24 giờ, người thứ hai 48 giờ.

Giaibaitap.me