Bài 8 trang 12 sgk hình học lớp 10

Cho $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right |= 0$. So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$

Giải

Từ $\left | \overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right | = 0$, ta có $\overrightarrow{a}+ \overrightarrow{b} = 0$ $\Rightarrow \overrightarrow{a} = -\overrightarrow{b}$

Điều này chứng tỏ hai vectơ có cùng độ dài $\left | \overrightarrow{a} \right | = \left | \overrightarrow{b} \right |$, cùng phương và ngược hướng.

Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10

Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng $AD$  và $BC$ trùng nhau.

Giải

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho  $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$ thì $AD$ và $BC$ có trung điểm trùng nhau. Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ ta chứng minh $I$ cũng là trung điểm của $BC$.

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có 

     $\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}$;

      $\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$

Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ nên $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}=  \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$

                           $\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}$

                           $\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}$              (1)

Vì $I$ là trung điểm của $AD$ nên  $\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}$         (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}$                             (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ $I$ là trung điểm của $BC$.

b) $AD$ và $BC$  có chung trung điểm $I$, ta chứng minh $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$.

$I$ là trung điểm của $AD$ $\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}$   $\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}$

$I$ là trung điểm của $BC$  $\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}$    $\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}$

Suy ra  $\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}=  \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}$ 

     $\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}$    $\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}$ (đpcm)

Bài 10 trang 12 sgk hình học lớp 10

Cho ba lực $\overrightarrow {{F_1}}  = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}}  = \overrightarrow {MB}$ và $\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC}$ cùng tác động vào một vât tại điểm $M$ và đứng yên. Cho biết cường độ của $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ đều là $100N$  và $\widehat {AMB} = {60^0}$

Tìm cường độ và hướng của lực $\overrightarrow {{F_3}}$

Giải

Theo đề bài cường độ của $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}}$ đều là $100N$ nên $MA=MB$. Mặt khác $\widehat {AMB} = {60^0}$ nên tam giác $ABM$ đều.

Do đó $MI={{AM\sqrt 3 } \over 2} = {{100\sqrt 3 } \over 2} = 50\sqrt 3$

$MC=2MI=2.50\sqrt 3=100\sqrt 3$

$\overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}$

Do đó $\overrightarrow {{F_3}}$ có hướng là tia phân giác trong của góc $\widehat {AMB}$ và có độ lớn là $100\sqrt 3 N$

Giaibaitap.me