Câu 7 trang 28 SGK Hình học 10

Cho sáu điểm  \(M, N, P, Q, R, S\) bất kì. Chứng minh rằng :

 \(\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NQ}  + \overrightarrow {RS}  = \overrightarrow {MS}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {RQ} \)

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SP} \cr
& \overrightarrow {NQ} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RQ} + \overrightarrow {QS} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = (\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {RQ} ) + (\overrightarrow {SP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QS} ) \cr} \)

Vì \(\overrightarrow {SP}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {QS}  = \overrightarrow {SS}  = \overrightarrow 0 \)

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Câu 8 trang 28 SGK Hình học 10

Cho tam giác \(OAB\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(OA\) và \(OB\). Tìm các số \(m, n\) sao cho:

a) \(\overrightarrow {OM}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

b) \(\overrightarrow {AN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

c) \(\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

d) \(\overrightarrow {MB}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB} \)

Trả lời: 

a) Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = {1 \over 2}\overrightarrow {OA} \)

Do đó: \(m = {1 \over 2};n = 0\)

b) Ta có: vì \(N\) là trung điểm \(OB\)

\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \)

Vậy \(m =  - 1;n = {1 \over 2}\)

c)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ) \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr} \)

Vậy \(m =  - {1 \over 2},n = {1 \over 2}\)

d) Ta có:

\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BO} \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} \cr
& \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} \Rightarrow 2\overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \cr} \)

Vậy \(m =  - {1 \over 2},n = 1\)

Câu 9 trang 28 SGK Hình học 10

Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G’\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác \(ABC\) và \(A’B’C’\) bất kì thì:

  \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \)                                                      

Trả lời:

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr
& \Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} ) + (\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} )(1) \cr} \)

\(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên:

       \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)   (2)

\(G’\) là trọng tâm của tam giác \(A’B’C’\) nên:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0 \cr} \)

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'} \)

Câu 10 trang 28 SGK Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau

b) Vecto \(\overrightarrow a \) cùng phương với \(\overrightarrow i \) nếu a có hoành độ bằng 0

c) Vecto \(\overrightarrow i \) có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với \(\overrightarrow j \)

Trả lời:

a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho vectơ \(\overrightarrow a  = (a_1;a_2)\) và vectơ đối của vectơ  \(\overrightarrow a \)  là vectơ  \(\overrightarrow b = - \overrightarrow a =(-a_1;-a_2)\)

Vậy khẳng định hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau là đúng.

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), vectơ \(\overrightarrow i  (1; 0)\).

Vecto \(\overrightarrow a  ≠ 0\) cùng phương với vecto \(\overrightarrow i \) khi \(\overrightarrow a  = k\overrightarrow i \) với \(k ∈\mathbb R\).

Suy ra: \(\overrightarrow a   = (k; 0)\) với \(k ≠ 0\).

Vậy khẳng định vectơ \(a≠ 0\) cùng phương với vectơ  nếu có hoành độ bằng \(0\) là sai.

c) Trong mặt phẳng \(Oxy\) có vectơ \((0; 1)\)

Vectơ \(\overrightarrow a \)  cùng phương với vectơ \(\overrightarrow j \) khi \(\overrightarrow a   = k  \overrightarrow j \) với \(k ∈\mathbb R\).

Suy ra: \(\overrightarrow a = (0;k)\) với \(k ∈\mathbb R\).

Vậy khẳng định Vectơ \(\overrightarrow a \) có hoành độ bằng \(0\) thì cùng phương với \(\overrightarrow j \) là đúng.

Giaibaitap.me