Câu 7 trang 28 SGK Hình học 10

Cho sáu điểm  $M, N, P, Q, R, S$ bất kì. Chứng minh rằng :

 $\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NQ}  + \overrightarrow {RS}  = \overrightarrow {MS}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {RQ}$

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SP} \cr & \overrightarrow {NQ} = \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} \cr & \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RQ} + \overrightarrow {QS} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = (\overrightarrow {MS} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {RQ} ) + (\overrightarrow {SP} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QS} ) \cr}$

Vì $\overrightarrow {SP}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {QS}  = \overrightarrow {SS}  = \overrightarrow 0$

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Câu 8 trang 28 SGK Hình học 10

Cho tam giác $OAB$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $OA$ và $OB$. Tìm các số $m, n$ sao cho:

a) $\overrightarrow {OM}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB}$

b) $\overrightarrow {AN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB}$

c) $\overrightarrow {MN}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB}$

d) $\overrightarrow {MB}  = m\overrightarrow {OA}  + n\overrightarrow {OB}$

Trả lời: 

a) Ta có: $\overrightarrow {OM}  = {1 \over 2}\overrightarrow {OA}$

Do đó: $m = {1 \over 2};n = 0$

b) Ta có: vì $N$ là trung điểm $OB$

$\eqalign{ & 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AB} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {AN} = 2\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr}$

Vậy $m =  - 1;n = {1 \over 2}$

c)

$\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \Rightarrow \overrightarrow {MN} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} ) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + {1 \over 2}\overrightarrow {OB} \cr}$

Vậy $m =  - {1 \over 2},n = {1 \over 2}$

d) Ta có:

$\eqalign{ & 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BO} \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} \cr & \Rightarrow 2\overrightarrow {BM} = 2\overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} \Rightarrow 2\overrightarrow {MB} = - \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MB} = - {1 \over 2}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \cr}$

Vậy $m =  - {1 \over 2},n = 1$

Câu 9 trang 28 SGK Hình học 10

Chứng minh rằng nếu $G$ và $G’$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ABC$ và $A’B’C’$ bất kì thì:

  $3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}$                                                      

Trả lời:

Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr & \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr & \Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} ) + (\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} )(1) \cr}$

$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên:

       $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$   (2)

$G’$ là trọng tâm của tam giác $A’B’C’$ nên:

$\eqalign{ & \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0 \cr}$

(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  $3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}$

Câu 10 trang 28 SGK Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau

b) Vecto $\overrightarrow a$ cùng phương với $\overrightarrow i$ nếu a có hoành độ bằng 0

c) Vecto $\overrightarrow i$ có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với $\overrightarrow j$

Trả lời:

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho vectơ $\overrightarrow a  = (a_1;a_2)$ và vectơ đối của vectơ  $\overrightarrow a$  là vectơ  $\overrightarrow b = - \overrightarrow a =(-a_1;-a_2)$

Vậy khẳng định hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau là đúng.

b) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, vectơ $\overrightarrow i  (1; 0)$.

Vecto $\overrightarrow a  ≠ 0$ cùng phương với vecto $\overrightarrow i$ khi $\overrightarrow a  = k\overrightarrow i$ với $k ∈\mathbb R$.

Suy ra: $\overrightarrow a   = (k; 0)$ với $k ≠ 0$.

Vậy khẳng định vectơ $a≠ 0$ cùng phương với vectơ  nếu có hoành độ bằng $0$ là sai.

c) Trong mặt phẳng $Oxy$ có vectơ $(0; 1)$

Vectơ $\overrightarrow a$  cùng phương với vectơ $\overrightarrow j$ khi $\overrightarrow a   = k  \overrightarrow j$ với $k ∈\mathbb R$.

Suy ra: $\overrightarrow a = (0;k)$ với $k ∈\mathbb R$.

Vậy khẳng định Vectơ $\overrightarrow a$ có hoành độ bằng $0$ thì cùng phương với $\overrightarrow j$ là đúng.

Giaibaitap.me