Bài 5 trang 45 sgk hình học 10

Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau :

a) \(\overrightarrow a \) = (2; -3), \(\overrightarrow b \)= (6, 4);

b)  \(\overrightarrow a \) = (3; 2), \(\overrightarrow b \)= (5, -1);

c)  \(\overrightarrow a  = (-2; -2\sqrt3)\), \(\overrightarrow b = (3; \sqrt3)\);

Hướng dẫn:

a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.6 + \left( { - 3} \right).4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b\) hay \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {90^0}\)

b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 3.5 + 2\left( { - 1} \right) = 13\)

Mặt khác:

\(\eqalign{
& \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr
& = \sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr
& = \sqrt {26} .\sqrt {13} .\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow 13 = \sqrt {26} .\sqrt {13} \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr
& \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr
& \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {45^0} \cr} \)

c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 2.3 + \left( { - 2\sqrt 3 } \right).\sqrt 3  = -12\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr
& = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr
& = 4 .\sqrt {12} .\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) \cr
& \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {{-12} \over 4.{\sqrt {12}  }} =  {{-\sqrt3 \over 2}} \cr
& \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 150^0\cr} \)

Bài 6 trang 46 sgk hình học 10

Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm : 

\(A(7; -3);   B(8; 4);   C(1; 5);   D(0;-2)\).

Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.

Giải

\(\vec{AB} = (1; 7)\);    \(\vec{DC}= (1; 7)\) 

\(\vec{AB} = \vec{DC}\Rightarrow ABCD\) là hình bình hành  (1)

Ta có :

\(AB^2={(8 - 7)^2} + {(4 + 3)^2} = 1 + 49 = 50 \Rightarrow AB = 5\sqrt 2 \)

\(A{D^2} = {(0 - 7)^2} + {( - 2 + 3)^2} = 49 + 1 = 50 \Rightarrow AD = 5\sqrt 2 \)

Suy ra \(AB = AD\), kết hợp với (1) suy ra \(ABCD\) là hình thoi (2)

Mặt khác \(\vec{AB} = (1; 7)\); \(\vec{AD} = (-7; 1)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  = 1.( - 7) + 7.1 = 0 \Rightarrow \vec{AB}⊥\vec{AD}\) (3)

Kết hợp (2) và (3) suy ra \(ABCD\) là hình vuông.

Bài 7 trang 46 sgk hình học 10

 Trên mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(A(-2; 1)\). Gọi \(B\) là điểm đói xứng với điểm \(A\) qua gốc tọa độ \(O\). Tìm tọa độ của điểm \(C\) có tung độ bằng \(2\) sao cho tam giác \(ABC\) vuông ở \(C\).

Giải

Điểm \(B\) đối xứng với \(A\) qua gốc tọa độ nên tọa độ của \(B\) là \((2; -1)\)

Tọa độ của \(C\) là \((x; 2)\). Ta có: \(\vec{CA} = (-2 - x; -1)\)

                                                  \(\vec{CB} = (2 - x; -3)\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) \(\Rightarrow\vec{CA} ⊥ \vec{CB}\Rightarrow \vec{CA}.\vec{CB} = 0\)

\(\Rightarrow(-2 - x)(2 - x) + (-1)(-3) = 0\)

\(\Rightarrow -4 +x^2+ 3 = 0\)

\(\Rightarrow x^2= 1 \Rightarrow x= 1\) hoặc \(x= -1\)

Ta tìm được hai điểm   \(C_1(1; 2);  C_2(-1; 2)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giaibaitap.me