Câu 5 trang 156 SGK Đại số 10

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) \(\cos {{22\pi } \over 3}\)

b) \(\sin {{23\pi } \over 4}\)

c) \(\sin {{25\pi } \over 3} - \tan {{10\pi } \over 3}\)

d) \({\cos ^2}{\pi  \over 8} - {\sin ^2}{\pi  \over 8}\)

Trả lời:

a) \(\cos {{22\pi } \over 3} = \cos (8\pi  - {{2\pi } \over 3})\)

\(= \cos ( - {{2\pi } \over 3}) = \cos ({{2\pi } \over 3}) \)

\(=  - \cos {\pi  \over 3} = {{ - 1} \over 2}\)

b) \(\sin {{23\pi } \over 4} = \sin (6\pi  - {\pi  \over 4})\)

\(= \sin ( - {\pi  \over 4}) =  - \sin ({\pi  \over 4}) =  - {{\sqrt 2 } \over 2}\)

c) 

\(\eqalign{
& \sin {{25\pi } \over 3} - \tan {{10\pi } \over 3} = \sin (8\pi + {\pi \over 3}) - \tan (3\pi + {\pi \over 3}) \cr
& = sin{\pi \over 3} - \tan {\pi \over 3} = {{\sqrt 3 } \over 2} - \sqrt 3 = {{ - \sqrt 3 } \over 2} \cr} \)

d) \({\cos ^2}{\pi  \over 8} - {\sin ^2}{\pi  \over 8} = \cos {\pi  \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

Câu 6 trang 156 SGK Đại số 10

Không sử dụng máy tính, hãy tính:

a) \(\sin {75^0} + \cos {75^0} = {{\sqrt 6 } \over 2}\)

b) \(\tan {267^0} + \tan {93^0} = 0\)

c) \(\sin {65^0} + \sin {55^0} = \sqrt 3 \cos {5^0}\)

d) \(\cos {12^0} - \cos {48^0} = \sin {18^0}\)

Trả lời:

a) 

\(\eqalign{
& \sin {75^0} + \cos {75^0} = \sin ({45^0} + {30^0}) + \cos ({45^0} + {30^0}) \cr 
& = \sin {45^0}.\cos{30^0} + \cos {45^0}.\sin {30^0} + \cos {45^0}.\cos{30^0} - \sin {45^0}.\sin{30^0} \cr 
& = {{\sqrt 2 } \over 2}(\cos{30^0} + \sin {30^0} + \cos{30^0} - \sin {30^0}) \cr 
& = {{\sqrt 2 } \over 2}.2{{\sqrt 3 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2} \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& \tan {267^0} + \tan {93^0} = \tan ({267^0} - {360^0}) + \tan {93^0} \cr 
& = \tan ( - {93^0}) + tan{93^0} = 0 \cr} \)

c) 

\(\eqalign{
& \sin {65^0} + \sin {55^0} = 2\sin {{{{65}^0} + {{55}^0}} \over 2}\cos {{{{65}^0} - {{55}^0}} \over 2} \cr 
& = 2\sin {60^0}\cos {5^0} = \sqrt 3 \cos {5^0} \cr} \)

d) 

\(\eqalign{
& \cos {12^0} - \cos {48^0} = - 2\sin {{{{12}^0} + {{48}^0}} \over 2}\sin {{{{12}^0} - {{48}^0}} \over 2} \cr 
& = - 2\sin {30^0}\sin ( - {18^0}) = 2\sin {30^0}\sin {18^0} = 2.{1 \over 2}\sin {18^0} = \sin {18^0} \cr} \)

Câu 7 trang 156 SGK Đại số 10

Chứng minh các đồng nhất thức.

a) \({{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = \cot x\)

b) \({{{\mathop{\rm sinx}\nolimits}  + sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}} = \tan {x \over 2}\)

c) \({{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}} = {\tan ^2}({\pi  \over 4} - x)\)

d) \(\tan x - \tan y = {{\sin (x - y)} \over {\cos x.cosy}}\)

Trả lời:

a)

\({{1 - \cos x + \cos 2x} \over {\sin 2x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x}}}} = {{1 + \cos 2x - \cos x} \over {2\sin x\cos x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} }} = {{\cos x(2\cos x - 1)} \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}(2\cos x - 1)}} = \cot x\)

b) 

\( {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} + sin{x \over 2}} \over {1 + \cos x + \cos {x \over 2}}}\)

\(= {{2\sin {x \over 2}\cos {x \over 2} + \sin {x \over 2}} \over {2{{\cos }^2}{x \over 2} + \cos {x \over 2}}}\)

\(= {{\sin {x \over 2}(2\cos {x \over 2} + 1)} \over {\cos {x \over 2}(2\cos {x \over 2} + 1)}}\)=

\(=\tan {x \over 2} \ \)

c) 

\({{2\cos 2x - \sin 4x} \over {2\cos 2x + \sin 4x}}\)

\(= {{2\cos 2x - 2\sin2 x\cos 2x} \over {2\cos 2x + 2\sin 2x\cos 2x}}\)

\(= {{1 - \sin 2x} \over {1 + \sin 2x}}\)
\(= {{1 - \cos ({\pi \over 2} - 2x)} \over {1 + \cos ({\pi \over 2} - 2x)}}\)

\(= {{2{{\sin }^2}({\pi \over 4} - x)} \over {2{{\cos }^2}({\pi \over 4} - x)}}\) 
\(= {\tan ^2}({\pi \over 4} - x) \)

d) 

\(\tan x - \tan y\)

\(= {{{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }} - {{\sin y} \over {\cos y}}\)

\(= {{\sin {\rm{x}}\cos y - \cos x\sin y} \over {\cos x\cos y}}\)

\(= {{\sin (x - y)} \over {\cos x\cos y}}\)

Câu 8 trang 156 SGK Đại số 10

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x\)

a) \(A = \sin ({\pi  \over 4} + x) - \cos ({\pi  \over 4} - x)\)

b) \(B = \cos ({\pi  \over 6} - x) - \sin ({\pi  \over 3} + x)\)

c) \(C = {\sin ^2}x + \cos ({\pi  \over 3} - x)cos({\pi  \over 3} + x)\)

d) \(D = {{1 - \cos 2x + \sin 2x} \over {1 + \cos 2x + \sin 2x}}.\cot x\)

Trả lời:

a) 

\(\eqalign{
& A = \sin ({\pi \over 4} + x) - \cos ({\pi \over 4} - x) \cr
& = \sin {\pi \over 4}\cos x + \cos {\pi \over 4}\sin x - \cos x\cos {\pi \over 4} - \sin {\rm{x}}\cos {\pi \over 4} \cr
& = {{\sqrt 2 } \over 2}(\cos x + \sin x - \cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}) = 0 \cr} \)

Không phụ thuộc vào \(x\)

b)

\(\eqalign{
& B = \cos ({\pi \over 6} - x) - \sin ({\pi \over 3} + x) \cr
& = \cos {\pi \over 6}{\mathop{\rm cosx}\nolimits} + \sin {\pi \over 6}sinx - sin{\pi \over 3}\cos x - \cos {\pi \over 3}\sin x \cr
& = \cos x(\cos {\pi \over 6} - sin{\pi \over 3}) + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}(\sin {\pi \over 6} - \cos {\pi \over 3}) = 0 \cr} \)

c) 

\(\eqalign{
& C = {\sin ^2}x + \cos ({\pi \over 3} - x)cos({\pi \over 3} + x) \cr
& = {\sin ^2}x + \left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x + \sin {\pi \over 3}\sin x} \right]\left[ {\cos {\pi \over 3}\cos x - \sin {\pi \over 3}\sin x} \right] \cr
& = {\sin ^2}x + {\cos ^2}{\pi \over 3}{\cos ^2}x - {\sin ^2}{\pi \over 3}{\sin ^2}x \cr
& = {\sin ^2}x + {1 \over 4}{\cos ^2}x - {3 \over 4}{\sin ^2}x = {1 \over 4}({\cos ^2}x + {\sin ^2}x) = {1 \over 4} \cr} \)

d) \(D = {{2{{\sin }^2}x + 2\sin x\cos x} \over {2{{\cos }^2}x + 2\sin x\cos x}}\cot x = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }}.{{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}} = 1\)

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