Bài 5 trang 154 sách giáo khoa Đại Số 10

 Tính \(\sin2a, \cos2a, \tan2a\), biết

a) \(\sin a = -0,6\) và \(π < a < {{3\pi } \over 2}\)

b) \(\cos a =  - {5 \over {13}}\) và \({\pi  \over 2} < a < π\)

c) sina + cosa = \({1 \over 2}\) và \({{3\pi } \over 4}\) < a < π

Giải

a)      \(\sin a = -0,6\) và  \(\pi  < a < {{3\pi } \over 2}\)

\(\sin 2a = 2\sin a\cos a\) (1)  (công thức)

Mà  \(\pi  < a < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \cos a < 0\)

và \(\sin a = -0,6 \Rightarrow \cos a =  - {4 \over 5}\)

\((1) \Leftrightarrow \sin 2{\rm{a}} = 2.( - 0,6).\left( { - {4 \over 5}} \right) \Leftrightarrow \sin 2{\rm{a}} = {{24} \over {25}}\)

\(\cos 2a = 1 - 2\sin^2a = 1 - 2{\left( { - {3 \over 5}} \right)^2} = 1 - {{18} \over {25}}\)

\(\cos 2a = {7 \over {25}}\)

\(\tan 2a = {{\sin 2a} \over {\cos 2a}} = {{24} \over {25}}.{{25} \over 7} = {{24} \over 7}\)

b) \(\cos a =  - {5 \over {13}}\) và \({\pi  \over 2} < a < \pi\)

Vì \({\pi  \over 2} < a < \pi\) nên \(\sin a > 0; \tan a < 0\)

và \(\cos a =  - {5 \over {13}}\) nên \(\sin {\rm{a}} = {{12} \over {13}}\)

Do đó, \(\sin 2{\rm{a}} = 2.{{12} \over {13}}.\left( { - {5 \over {13}}} \right) =  - {{120} \over {169}}\)

 \(\cos 2a = 2.{\cos ^2}a - 1 = 2.{{25} \over {169}} - 1 =  - {{119} \over {169}}\)

 \(\tan 2a = {{\sin 2a} \over {\cos 2a}} = \left( { - {{120} \over {169}}} \right).\left( { - {{169} \over {119}}} \right) = {{120} \over {119}}\)

c) \(\sin {\rm{a}} + {\mathop{\rm cosa}\nolimits}  = {1 \over 2}\) và  \({{3\pi } \over 4} < a < \pi\)

Vì \({{3\pi } \over 4} < a < \pi \) nên \(\sin a > 0; \cos a < 0\)

\(\left. \matrix{{\cos ^2}a + {\sin ^2}a = 1 \hfill \cr \sin a + \cos a = {1 \over 2} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left\{ \matrix{\cos a = {{1 - \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr \sin a = {{1 + \sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra : \(\sin 2a = 2.{{1 + \sqrt 7 } \over 4}.{{1 - \sqrt 7 } \over 4} = {{ - 3} \over 4}\)

\(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2{\left( {{{1 + \sqrt 7 } \over 4}} \right)^2} = {{  \sqrt 7 } \over 4}\)

\(\tan 2a =  - {{3\sqrt 7 } \over 7}\)

Bài 6 trang 154 sgk đại số 10

Cho \(\sin 2a =  - {5 \over 9}\) và \({\pi  \over 2}< a < π\).

Tính \(\sin a\) và \(\cos a\).

Giải

\({\pi  \over 2}< a < π\Rightarrow \sin a > 0, \cos a < 0\)

\(\cos 2a =  \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}2a}  =  \pm \sqrt {1 - {{\left( {{5 \over 9}} \right)}^2}}  =  \pm {{2\sqrt {14} } \over 9}\)

Nếu \(\cos 2a = {{2\sqrt {14} } \over 9}\) thì 

\(\eqalign{
& \sin a = \sqrt {{{1 - \cos 2a} \over 2}} = \sqrt {{{1 - {{2\sqrt {14} } \over 9}} \over 2}} = {{\sqrt {9 - 2\sqrt {14} } } \over {3\sqrt 2 }} \cr
& = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 2 } \right)}^2}} } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 7 - \sqrt 2 } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt {14} - 2} \over 6} \cr} \)

\(\cos a =  - \sqrt {{{1 + \cos 2a} \over 2}}  =  - {{\sqrt {14}  + 2} \over 6}\)

Nếu \(\cos 2a = -{{2\sqrt {14} } \over 9}\) thì

\(\eqalign{
& \sin a = \sqrt {{{1 - \cos 2a} \over 2}} = \sqrt {{{1 + {{2\sqrt {14} } \over 9}} \over 2}} = {{\sqrt {9 + 2\sqrt {14} } } \over {3\sqrt 2 }} \cr
& = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 2 } \right)}^2}} } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt 7 + \sqrt 2 } \over {3\sqrt 2 }} = {{\sqrt {14} + 2} \over 6} \cr
& \cos a = - \sqrt {{{1 + \cos 2a} \over 2}} = {{ - \sqrt {14} + 2} \over 6} \cr} \)

Bài 7 trang 155 sgk đại số 10

Biến đổi thành tích các biểu thức sau

a) \(1 - \sin x\);                    b) \(1 + \sin x\);

c) \(1 + 2\cos x\);                  d) \(1 - 2\sin x\)  

Giải

 a) \(1 - \sin x = \sin \frac{\pi }{2} - \sin x = 2\cos \frac{\frac{\pi }{2}+x}{2}\sin \frac{\frac{\pi}{2}-x}{2}\)

\(= 2 \cos \left ( \frac{\pi }{4} +\frac{x}{2}\right )\sin\left ( \frac{\pi }{4} -\frac{x}{2}\right )\)

b) \(1 + \sin x = \sin \frac{\pi }{2} + \sin x = 2\sin \left ( \frac{\pi }{4} +\frac{x}{2}\right )\cos \left ( \frac{\pi }{4} -\frac{x}{2}\right )\)

c) \(1 + 2\cos x = 2( \frac{1}{2} + \cos x) = 2(\cos \frac{\pi}{3} + \cos x) \)

\(= 4\cos \left ( \frac{\pi }{6} +\frac{x}{2}\right )\cos \left ( \frac{\pi }{6} -\frac{x}{2}\right )\)

d) \(1 - 2\sin x = 2( \frac{1}{2} - \sin x) = 2(\sin \frac{\pi}{6} - \sin x)\)

\(= 4\cos \left ( \frac{\pi }{12} +\frac{x}{2}\right )\sin \left ( \frac{\pi }{12} -\frac{x}{2}\right )\)

Bài 8 trang 155 sgk đại số 10

Rút gọn biểu thức \(A = {{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sin 3{\rm{x}} + \sin 5{\rm{x}}} \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  + cos3x + cos5x}}\).

Lời giải:

Ta có:

+) \(\sin x + \sin 3x + \sin 5x = \sin x + \sin 5x + \sin 3x\)

\(= 2\sin {{x + 5x} \over 2}.\cos {{x - 5x} \over 2} + \sin 3x = 2\sin 3x + \cos 2x + \sin 3x\)

\(= \sin 3x (2\cos 2x + 1)\) (1)

+) \( \cos x + \cos3x + \cos5x = \cos x + \cos5x +\cos3x = 2\cos3x . \cos2x + \cos3x = \cos3x (2\cos2x + 1)\) (2)

Từ (1) và (2) ta có:

\(A = {{\sin 3x} \over {\cos 3x}} = \tan 3x\)

Vậy \(A= \tan 3x\)

Giaibaitap.me