Câu 1 trang 155 SGK Đại số 10

 Hãy nêu định nghĩa của sinα, cosα và giải thích tại sao ta có:

\(\sin(α+k2π) = \sin α; k ∈\mathbb Z\)

\(\cos(α+k2π) = \cos α; k ∈\mathbb Z\)

Trả lời:

Trên đường tròn lượng giác trong mặt phẳng \(Oxy\), lấy điểm \(A(1; 0)\) và điểm \(M(x;y)\) với số đo cung \(AM = α\)

\( y= \cos AM ⇒ y = \sin α\)

\(x= \sin AM ⇒ x = \sin α\)

Mà cung \(AM = α+k2π ; k ∈\mathbb Z\)

Nên

\(\sin(α+k2π) = \sin α; k ∈\mathbb Z\)

\(\cos(α+k2π) = \cos α; k ∈\mathbb Z\)

Câu 2 trang 155 SGK Đại số 10

Nêu định nghĩa của \(\tan α, \cot α\) và giải thích vì sao ta có:

\(\tan(α+kπ) = \tanα; k ∈\mathbb Z\)

\(\cot(α+kπ) = \cotα; k ∈\mathbb Z\)

Trả lời:

 \(\tan \alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }},\cot \alpha  = {{{\rm{cos}}\alpha } \over {\sin \alpha }}\)

Suy ra \(\tan (\alpha  + k\pi ) = {{\sin (\alpha  + k\pi )} \over {\cos (\alpha  + k\pi )}}\)

+) Nếu \(k\) chẵn

\(\sin(α+kπ) = \sin α\)

\(\cos(α+kπ) = \cos α\)

+) Nếu \(k\) lẻ

\(\sin(α+kπ) = - \sin α\)

\(\cos(α+kπ) = - \cos α\)

Suy ra \(\tan(α+kπ) = \tanα\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\cot(α+kπ) = \cotα; k ∈\mathbb Z\)

Câu 3 trang 155 SGK Đại số 10

 Tính:

a) \(\sinα\), nếu \(\cos \alpha  = {{ - \sqrt 2 } \over 3},{\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \)

b) \(\cosα\), nếu \(\tan \alpha  = 2\sqrt 2 ,\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\)

c) \(\tanα\), nếu \(\sin \alpha  = {{ - 2} \over 3},{{3\pi } \over 2} < \alpha  < 2\pi \)

d) \(\cotα\), nếu \(\cos \alpha  = {{ - 1} \over 4},{\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \)

Trả lời:

a) Nếu \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \) thì \(\sinα>0\)

 \(\sin \alpha  = \sqrt {1 - {{\cos }^2}x}  = \sqrt {1 - {2 \over 9}}  = {{\sqrt 7 } \over 3}\)

b) Nếu \(\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\) thì \(\cosα<0\)

 \(\cos \alpha  =  - \sqrt {{1 \over {1 + {{\tan }^2}\alpha }}}  =  - \sqrt {{1 \over {1 + 8}}}  =  - {1 \over 3}\)

c) \({{3\pi } \over 2} < \alpha  < 2\pi \) thì \(\tan α<0, \cosα>0\)

 \(\tan\alpha  = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = ( - {2 \over 3}):\sqrt {1 - ({2 \over 3}} {)^2} =  - {{2\sqrt 5 } \over 5}\)

d) \({\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \) thì \(\cotα<0, \sinα>0\)

\(\cot \alpha  = \left( { - {1 \over 4}} \right):\sqrt {1 - {{\left( {{1 \over 4}} \right)}^2}}  =  - {{\sqrt {15} } \over 15}\)

Câu 4 trang 155 SGK Đại số 10

Rút gọn biểu thức

a) \({{2\sin 2\alpha  - \sin 4\alpha } \over {2\sin 2\alpha  + \sin 4\alpha }}\)

b) \(\tan \alpha ({{1 + {{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} - \sin \alpha )\)

c) \({{\sin ({\pi  \over 4} - \alpha ) + \cos ({\pi  \over 4} - \alpha )} \over {\sin ({\pi  \over 4} - \alpha ) - \cos ({\pi  \over 4} - \alpha )}}\)

d) \({{\sin 5\alpha  - \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha }}\)

Trả lời:

a)

\(\eqalign{
& {{2\sin 2\alpha - \sin 4\alpha } \over {2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha }} = {{2\sin 2\alpha - 2\sin 2\alpha .cos2\alpha } \over {2\sin 2\alpha + 2\sin 2\alpha .cos2\alpha }} \cr
& = {{1 - \cos 2\alpha } \over {1 + \cos 2\alpha }} = {{2{{\sin }^2}\alpha } \over {2{{\cos }^2}\alpha }} =\tan^2\alpha\cr} \)

b)

\(\eqalign{
& \tan \alpha \left({{1 + {{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} - \sin \alpha\right ) = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}\left({{1 + {{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }}\right) \cr
& = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}.{{2{{\cos }^2}\alpha } \over {\sin \alpha }} = 2\cos \alpha \cr} \)

c)

\(\eqalign{
& = {{\tan \left({\pi \over 4} - \alpha \right) + 1} \over {\tan\left({\pi \over 4} - \alpha \right) - 1}} = \left({{\tan {\pi \over 4} - \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi \over 4}.\tan \alpha }} + 1\right):\left({{\tan {\pi \over 4} - \tan \alpha } \over {1 + \tan {\pi \over 4}.\tan \alpha }} - 1\right) \cr
& = \left({{1 - \tan \alpha + 1 + \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} \right):\left({{1 - \tan \alpha - 1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} \right) \cr
& = {{ - 1} \over {\tan \alpha }} = - \cot \alpha \cr} \) 

d) 

\({{\sin 5\alpha  - \sin 3\alpha } \over {2\cos 4\alpha }} = {{2\cos {{5\alpha  + 3\alpha } \over 2}\sin {{5\alpha  - 3\alpha } \over 2}} \over {2\cos 4\alpha }} = \sin \alpha \)

 Giaibaitap.me