Bài 5 trang 80 sgk hình học 10

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) \(d_1: 4x - 10y + 1 = 0 \);             \(d_2 : x + y + 2 = 0\)

b) \(d_1  :12x - 6y + 10 = 0  \);          \(d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.\)

c) \(d_1:8x + 10y - 12 = 0  \);        \( d_2  :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.\)

Giải

a) Xét hệ \(\left\{\begin{matrix} 4x-10y + 1= 0& \\ x + y + 2 = 0& \end{matrix}\right.\)

\(D = 4.1 -(- 10).1 = 14  ≠ 0\)

Vậy \(d_1\) và \(d_2\) cắt nhau

b) \(d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.\) viết dưới dạng tổng quát là:

\(d_2: 2x - y - 7 = 0\)

\(D = 12 . (-1) -(-6).2 = -12 + 12 = 0\)

\( D_x = (-6) . (-7) - (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0\)

Vậy \(d_1// d_2\) 

c) \(d_1:8x + 10y - 12 = 0  \)

\( d_2  :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.\) có dạng tổng quát là: \(d_2: 4x + 5y - 6 = 0\)  

 \(D    = 8 . 5 - 4 . 10 = 0\)

\(D_x= 10. (-6) - (-12) . 5 = 0\)

\( D_y= (-12) . 4 - (-6) . 8 = 0\)

Vậy \(d_1\) trùng  \(d_2\) 

Bài 6 trang 60 sgk hình học 10

Cho đường thẳng d có phương trình tham số : \(\left\{\begin{matrix} x = 2 + 2t& \\ y = 3 +t & \end{matrix}\right.\) 

Tìm điểm \(M\) thuộc \(d\) và cách điểm \(A(0; 1)\) một khoảng bằng \(5\).

Giải

 Cách 1.

Chuyển phương trình \(d\) về dạng tổng quát bằng cách khử \(t\) giữa hai phương trình ta được:

\(d: x - 2y + 4 = 0\)

Gọi \( M_0(x_0;y_0)\) là điểm thuộc \(d\) và cách điểm \(A(0; 1)\)một khoảng bằng \(5\) thì \(x_0,y_0\) là nghiệm của hệ:

\(\left\{\begin{matrix} x_{0}- 2y_{0} + 4 = 0& \\ {x_{0}}^{2} +(y_{0}-1)^{2}= 25 & \end{matrix}\right.\)

Thế phương trình (1) vào (2) ta có: \(x_0= y_0- 4\)

\({(2{y_0} - 4)^2} + {(y - 1)^2} = 25\)

Giải phương trình ta được \(2\) nghiệm:    

\(y_0= 4\);             \(y_0= \frac{-2}{5}\)

Với \({y_0} = 4 \Rightarrow {x_0} = 4 \Rightarrow {M_1}(4;4)\)

Với \({y_0} =  - {2 \over 5} \Rightarrow {x_0} =  - {{25} \over 4} \Rightarrow {M_2}\left( { - {2 \over 5}; - {{25} \over 4}} \right)\)

Cách 2. 

Ta có \(M ∈ d\) nên \(M( 2 + 2t;  3 + t)\)

Độ dài đoạn \(MA\):

\(MA = \sqrt {{{\left( {x - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {y - {y_A}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}\)

Mà \(MA = 5\) nên \(5 = \sqrt {{{\left( {2 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {2 + t} \right)}^2}}\)

\(\Leftrightarrow 25 = 4{\left( {1 + t} \right)^2} + {\left( {2 + t} \right)^2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr 
t = - {{17} \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)

-  Khi \(t = 1\) thay vào ta được \(M(4; 4)\)

-  Khi \(t =  - {{17} \over 5}\) thay vào ta được \(M\left( { - {{24} \over 5}; - {2 \over 5}} \right)\)

Vậy có \(2\) điểm \(M\) thuộc \(d\) cách điểm \(A(0;1)\) một khoảng bằng \(5\)

Bài 7 trang 81 sgk hình học 10

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\)

lần lượt có phương trình:

\(d_1: 4x - 2y + 6 = 0\) và \(d_2: x - 3y + 1 = 0\)

Giải

Áp dụng công thức     \(\cos  \varphi = \frac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\)

ta có                        \(\cos  \varphi = \frac{|4.1+(-2 ).(-3)|}{\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}}\) 

\(\Rightarrow \cos  \varphi = \frac{10 }{\sqrt{20}\sqrt{10}}\) = \(\frac{10 }{10\sqrt{2}}\) = \(\frac{1 }{\sqrt{2}}\) \(\Rightarrow  \varphi = 45^0\)

Bài 8 trang 81 sgk hình học 10

Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) \(A(3; 5)\)    \(∆ : 4x + 3y + 1 = 0\);

b) \(B(1; -2)\)  \( d: 3x - 4y - 26 = 0\);

c) \(C(1; 2)\)   \( m: 3x + 4y - 11 = 0\);

Giải

Áp dụng công thức:

      \( d(M_0,∆) = \frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)

a)         \( d(M_0,∆) =\frac{|4.3+3.5+1|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}= \frac{28}{5}\) 

b)         \( d(B,d) =\frac{|3.1-4.(-2)-26|}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}} = \frac{-15}{5} = \frac{15}{5} = 3\)

c) Ta có: \(3.1+4.2-11=0\) do đó điểm \(C\) nằm trên đường thẳng \(m\)

\( d(C,m) =0\)

Bài 9 trang 81 sgk hình học 10

 Tìm bán kính của đường tròn tâm \(C(-2; -2)\) và tiếp xúc với đường thẳng

\(∆ : 5x + 12y - 10 = 0 \).

Giải

Bán kính \(R\) của đường tròn tâm \(C(-2; -2)\) và tiếp xúc với đường thẳng

 \(∆ : 5x + 12y - 10 = 0\) bằng khoảng cách từ \(C\) đến \(∆\) 

\(R =  d(C,∆ )= \frac{|5.(-2) +12.(-2)-10|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}\)

\(\Rightarrow R = \frac{|-44|}{\sqrt{169}}= \frac{44}{13}\) 

Giaibaitap.me