Bài 1 trang 83 sgk hình học 10

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a) ${x^2} + {\rm{ }}{y^2} - 2x-2y - 2{\rm{ }} = 0$

b) $16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

c) ${x^{2}} + {\rm{ }}{y^{2}} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

Giải

a) Ta có : $-2a = -2 \Rightarrow a = 1$

               $-2b = -2 \Rightarrow b = 1  \Rightarrow I(1; 1)$

${R^2} = {a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {1^2} - ( - 2) = 4 \Rightarrow R = \sqrt 4  = 2$

b) $16{x^2} + {\rm{ }}16{y^2} + {\rm{ }}16x{\rm{ }}-{\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + x - {1 \over 2}y - {{11} \over {16}} = 0$

$\eqalign{ & - 2a = 1 \Rightarrow a = - {1 \over 2} \cr & - 2b = - {1 \over 2} \Rightarrow b = {1 \over 4} \cr & \Rightarrow I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right) \cr}$

${R^2} = {a^2} + {b^2} - c = {\left( { - {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} - \left( { - {{11} \over {16}}} \right) = 1 \Rightarrow R = \sqrt 1  = 1$

 c)  

$\eqalign{ & - 2a = - 4 \Rightarrow a = 2 \cr & - 2b = 6 \Rightarrow b = - 3 \cr & \Rightarrow I\left( {2; - 3} \right) \cr}$

${R^2} = {a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {\left( { - 3} \right)^2} - \left( { - 3} \right) = 16 \Rightarrow R = \sqrt {16}  = 4$

Bài 2 trang 83 sgk hình học 10

Lập phương trình đườơng tròn $(C)$ trong các trường hợp sau:

a) $(C)$  có tâm $I(-2; 3)$ và đi qua $M(2; -3)$;

b) $(C)$  có tâm $I(-1; 2)$ và tiếp xúc với đường  thẳng $d : x – 2y + 7 = 0$

c) $(C)$  có đường kính $AB$ với $A(1; 1)$ và $B(7; 5)$

Giải

a) Ta tìm bán kính ${R^2} = {\rm{ }}I{M^2} \Rightarrow {R^{2}} = {\rm{ }}IM{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}( - 3{\rm{ }} - {3^2}){\rm{ }} = {\rm{ }}52$

 Phương trình đường tròn $(C)$:

${\left( {x{\rm{ }} + 2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 52$

b) Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $d$ nên khoảng cách từ tâm  $I$ tới đường thẳng $d$ phải bằng bán kính đường tròn:

$d(I; d) = R$

Ta có : $R = d(I, d) = \frac{|-1-2.2+7|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}}}$ = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}= \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right )^{2}$  

$\Leftrightarrow {\left( {x{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2} = {4 \over 5}$

c) Tâm $I$ là trung điểm của $AB$, có tọa độ :

$x = \frac{1 +7}{2} = 4$; $y = \frac{1 +5}{2} = 3$ suy ra $I(4; 3)$

$AB = 2\sqrt {13}$ suy ra $R = \sqrt {13}$   

Phương trình đường tròn cần tìm là:

${\left( {x{\rm{ }} - 4{\rm{ }}} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = 13$

Bài 3 trang 83 sgk hình học 10

Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm:

 a) $A(1; 2); B(5; 2); C(1; -3)$

b) $M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)$

Giải

Sử dụng phương trình đường tròn có dạng:  $x^2+y^2-2 ax – 2by +c = 0$ 

a) Đường tròn đi qua điểm $A(1; 2)$ nên ta có:

$1^2+ 2^2– 2a -4b + c = 0   \Leftrightarrow   2a + 4b – c = 5$

Đường tròn đi qua điểm $B(5; 2)$ nên ta có:

$5^2+ 2^2– 10a -4b + c = 0 \Leftrightarrow    10a + 4b – c = 29$

Đường tròn đi qua điểm $C(1; -3)$ nên ta có:

$1^2+ (-3)^2 – 2a + 6b + c = 0   \Leftrightarrow     2a - 6b – c = 10$

Để tìm $a, b, c$ ta giải hệ: $\left\{\begin{matrix} 2a + 4b- c = 5 (1) & & \\ 10a +4b - c= 29 (2) & & \\ 2a- 6b -c =10 (3) & & \end{matrix}\right.$

Giải hệ ta được:  $\left\{ \matrix{ a = 3 \hfill \cr b = - 0,5 \hfill \cr c = - 1 \hfill \cr} \right.$

Phương trình đường tròn cần tìm là: ${{x^2} + {\rm{ }}{y^2} - {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0}$

b) Đường tròn đi qua điểm $M(-2; 4)$ nên ta có:

$(-2)^2+ 4^2+4a -8b + c = 0   \Leftrightarrow   4a - 8b + c = -20$

Đường tròn đi qua điểm $N(5; 5)$ nên ta có:

$5^2+ 5^2– 10a -10b + c = 0 \Leftrightarrow    10a +10b – c = 50$

Đường tròn đi qua điểm $P(6; -2)$ nên ta có:

$6^2+ (-2)^2 – 12a + 4b + c = 0   \Leftrightarrow     12a - 4b – c = 40$

Ta có hệ phương trình: 

$$\left\{ \matrix{ 4a - 8b + c = - 20 \hfill \cr 10a + 10b - c = 50 \hfill \cr 12a - 4b - c = 40 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a = 2 \hfill \cr b = 1 \hfill \cr c = - 20 \hfill \cr} \right.$$

Phương trình đường tròn đi qua ba điểm $M(-2; 4); N(5; 5); P(6; -2)$ là:

$x^2+ y^2- 4x – 2y - 20 = 0$ 

Giaibaitap.me