Bài 1 trang 88 sgk hình học 10

Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:

a) \(\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9}= 1\)

b) \(4x^2+ 9y^2= 1\)

c) \(4x^2+ 9y^2= 36\)

Giải

a) Ta có: \(a^2= 25 \Rightarrow a = 5\) độ dài trục lớn \(2a = 10\) 

               \( b^2= 9 \Rightarrow  b = 3\) độ dài trục nhỏ \(2a = 6\) 

               \(c^2= a^2– b^2= 25 - 9 = 16  \Rightarrow c = 4\)

Vậy hai tiêu điểm là : \(F_1(-4 ; 0)\) và \(F_2(4 ; 0)\)

Tọa độ các đỉnh    \(A_1(-5; 0), A_2(5; 0),  B_1(0; -3),  B_2(0; 3)\).

b)

 \(4x^2+ 9y^2= 1\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1\)

  \(a^2  =\frac{1}{4}\Rightarrow a = \frac{1}{2}\)  \(\Rightarrow\) độ dài trục lớn \(2a = 1\)

  \(b^2= \frac{1}{9}\Rightarrow b = \frac{1}{3}\) \(\Rightarrow\)  độ dài trục nhỏ \(2b = \frac{2}{3}\)

   \(c^2= a^2– b^2= \frac{1}{}4- \frac{1}{9} =  \frac{5}{36}\) \(\Rightarrow c = \frac{\sqrt{5}}{6}\)

 \(F_1(-\frac{\sqrt{5}}{6} ; 0)\) và \(F_2(\frac{\sqrt{5}}{6} ; 0)\)

  \(A_1(-\frac{1}{2}; 0), A_2(\frac{1}{2}; 0)\), \(B_1(0; -\frac{1}{3} ), B_2(0; \frac{1}{3} )\).

c) Chia \(2\) vế của phương trình cho \(36\) ta được :

\(\frac{x^{2}}{9}+ \frac{y^{2}}{4}= 1\)

Từ đây suy ra: \(2a = 6,     2b = 4,    c = \sqrt5\)

Suy ra \(F_1(-\sqrt5 ; 0)\) và \(F_2(\sqrt5 ; 0)\)

 \(A_1(-3; 0), A_2(3; 0),  B_1(0; -2),  B_2(0; 2)\).

Bài 2 trang 88 sgk hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a)  Trục lớn và trục nhỏ lần lươt  là \(8\) và \(6\)

b) Trục lớn bằng \(10\) và tiêu cự bằng \(6\)

Giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng :

\(\frac{x^{2}}{a^{2}}\) + \(\frac{y^{2}}{b^{2}}\) = 1

a) Ta có \(a > b\) : 

\(2a = 8  \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^2= 16\)

\(2b = 6   \Rightarrow b = 3 \Rightarrow  b^2= 9\)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{x^{2}}{16}\)  + \(\frac{y^{2}}{9}\) = 1

b) Ta có: \(2a = 10 \Rightarrow a = 5  \Rightarrow  a^2= 25\)

               \(2c = 6   \Rightarrow c = 3  \Rightarrow c^2= 9\)

           \(\Rightarrow b^2=a^2-c^2 \Rightarrow b^2= 25 - 9 = 16\)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16}= 1\)

Bài 3 trang 88 sgk hình học 10

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua các điểm \(M(0; 3)\) và \(N( 3; \frac{-12}{5})\)

b) Một tiêu điểm là \(F_1( -\sqrt3; 0)\) và điểm \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\) nằm trên elip

Giải

Phương trình chính tắc của elip có dạng:    \(\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)

a) Elip đi qua \(M(0; 3)\)

\(\frac{0^{2}}{a^{2}} + \frac{3^{2}}{b^{2}}= 1  \Rightarrow   b^2= 9\)

Elip đi qua \(N( 3; \frac{-12}{5})\)

\(\frac{3^{2}}{a^{2}} + \frac{\left(\frac{-12}{5}\right)^{2}}{9} = 1  \Rightarrow  a^2= 25\)

Phương trình chính tắc của elip là : \(\frac{x^{2}}{25}  + \frac{y^{2}}{9} = 1\)

b) Ta có: \(c = \sqrt3  \Rightarrow    c^2= 3\)

Elip đi qua điểm  \(M(1; \frac{\sqrt{3}}{2})\)

\(\frac{1}{a^{2}} + \frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{b^{2}}= 1  \Rightarrow   \frac{1}{a^{2}}+ \frac{3}{4b^{2}}= 1\)  (1)

Mặt khác:  \( c^2=a^2-b^2\)

\(\Rightarrow 3 =  a^2-b^2\Rightarrow a^2=b^2 + 3\)

Thế vào (1) ta được : \(\frac{1}{b^{2}+ 3} + \frac{3}{4b^{2}} = 1\)

\(\Rightarrow  a^2= 4b^2+ 5b^2- 9 = 0 \)

\(\Rightarrow b^2 =1\) hoặc \( b^2= \frac{-9}{4}\)( loại)

Với \( b^2= 1\Rightarrow  a^2= 4\)

Phương trình chính tắc của elip là : \(\frac{x^{2}}{4}  + \frac{y^{2}}{1}= 1\)

Bài 4 trang 88 sgk hình học 10

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là \(80cm\) và trục nhỏ là \(40 cm\) từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước \(80cm \times 40cm\), người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Giải

 Ta có: \(2a  = 80 \Rightarrow a = 40\)

           \(2b = 40\Rightarrow b = 20\)

 \( c^2= a^2– b^2= 1200 \Rightarrow  c = 20\sqrt 3\)

Phải đóng đinh tại các điểm  \(F_1, F_2\)  và cách mép ván:

\(F_2A  = OA – OF_2= 40 - 20\sqrt3\)

\(\Rightarrow  F_2A = 20(2 - \sqrt3)   ≈  5,4cm\)

Chu vi vòng dây bằng:   \(F_1F_2+ 2a  =   40\sqrt 3 + 80\)

                                    \(\Rightarrow F_1F_2+2a  =   40(2 + \sqrt 3)\)

                                         \( F_1F_2+ 2a  ≈ 149,3cm\)

Bài 5 trang 88 sgk hình học 10

Cho hai đường tròn \({C_1}({F_1};{R_1})\)  và \({C_2}({F_2};{R_2})\). \(C_1\) nằm trong \(C_2\) và \(F_1≠  F_2\). Đường tròn \((C)\)  thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \(C_1\) và tiếp xúc trong với \(C_2\).Hãy chứng tỏ rằng tâm \(M\) của đường tròn \((C)\) di động trên một elip.

Giải

Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn \((C)\)

\((C)\) và \(C_1\) tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

\(MF_1= R_1+ R\)  (1)

\((C)\) và \(C_2\) tiếp xúc trong với nhau, cho ta:

\(MF_2= R_2- R\)  (2)

Từ (1) VÀ (2) ta được 

\(M{F_1} + M{F_2} = {R_1} + {R_2} = R\) không đổi

Điểm M có tổng  các khoảng cách \(M{F_1} + M{F_2} \) đến hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) bằng một độ dài không đổi \({R_1} + {R_2}\)

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường elip, có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\)   và có tiêu cự

\(F_1F_2= R_1+R_2\)

Giaibaitap.me