Bài 1 trang 105 SGK Đại số 10

Xét dấu các tam thức bậc hai

a) \({x^{2}}-3x + 1\);                                                                

b) \(- 2{x^2} + 3x + 5\);

c) \({x^2} +12x+36\);                                                            

d) \((2x - 3)(x + 5)\).

Giải

a) \({x^{2}}-3x + 1\)

\(∆ = (- 3)^2– 4.5 < 0  \Rightarrow   5x^2- 3x + 1 > 0  , ∀x ∈\mathbb R\) (vì luôn cùng dấu với \(a=5 > 0\)).

b) \(- 2{x^2} + 3x + 5\)

\( - 2{x^2} + 3x + 5=0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

  \( - 2{x^2} + 3x + 5 <0\)  với  \(x \notin \left [ -1;\frac{5}{2} \right ]\)

   \( - 2{x^2} + 3x + 5 >0\) với   \(- 1 < x < \frac{5}{2}\).

c) \({x^2} +12x+36\)

\(\Delta ' = {6^2} - 1.36 = 0\)

\({x^2} + 12x + 36 = 0 \Leftrightarrow x =  - 6\)

Do đó: \({x^2} + 12x + 36 > 0, ∀x ≠ - 6\).

d) \((2x - 3)(x + 5)=2x^2+7x-15\)

\((2x - 3)(x + 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 5 \hfill \cr
x = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Hệ số của tam thức là: \(a=2 > 0\). Do đó: 

\((2x - 3)(x + 5) > 0\) với \(x \notin \left[-5;\frac{3}{2}\right]\)

\((2x - 3)(x + 5) < 0\) với \(x \notin \left(-5;\frac{3}{2}\right).\)

Bài 2 trang 105 SGK Đại số 10

Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

a) \(f(x) =(3{x^2} - 10x + 3)(4x - 5)\);

b) \(f(x) = (3{x^2} - 4x)(2{x^2} - x - 1)\);

c) \(f(x) = (4{x^2} - 1)( - 8{x^2} + x - 3)(2x + 9)\);

d) \(f(x) = \frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}.\)

Giải

a) \(f(x) =(3{x^2} - 10x + 3)(4x - 5)\) 

\(3{x^2} - 10x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 3} \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\)

\(4x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = {5 \over 4}\)

    Bảng xét dấu:

    Kết luận:

\(f(x) < 0\) với \(x \in \left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right) \cup \left( {{5 \over 4};3} \right)\)

\(f(x) > 0\) với \(x \in \left( {{1 \over 3};{5 \over 4}} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

b) \(f(x) = (3{x^2} - 4x)(2{x^2} - x - 1)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = {4 \over 3} \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr
x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Bảng xét dấu:

c) \(f(x) = (4{x^2} - 1)( - 8{x^2} + x - 3)(2x + 9)=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 2} \hfill \cr
x = - {1 \over 2} \hfill \cr
x = - {9 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Bảng xét dấu:

d) \(f(x) = \frac{(3x^{2}-x)(3-x^{2})}{4x^{2}+x-3}=0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \sqrt 3 \hfill \cr
x = - \sqrt 3 \hfill \cr
x = {1 \over 3} \hfill \cr
x = 0 \hfill \cr} \right.\)

    Bảng xét dấu:

Bài 3 trang 105 SGK Đại số 10

Giải các bất phương trình sau

a) \(4{x^2} - x + 1 < 0\);                                                      

b) \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0\);

c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4};\)                                 

d) \(x^2- x - 6 ≤ 0\). 

Hướng dẫn.

a) Tam thức \(f(x) =4{x^2} - x + 1 < 0\) có hệ số \(a = 4 > 0\) biệt thức \(∆ = (-1)^2- 4.4.1 < 0\). Do đó \(f(x) > 0 ,∀x ∈\mathbb R\). 

Bất phương trình \(4{x^2} - x + 1 < 0\) vô nghiệm.

b) \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0\)

\(f(x) = - 3{x^2} + x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \( - 3{x^2} + x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le {4 \over 3}\)

c) \(\frac{1}{x^{2}-4}<\frac{3}{3x^{2}+x-4}\)  

   \( \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}-4}-\frac{3}{3x^{2}+x-4}< 0\)

   \( \Leftrightarrow \frac{x+8}{(x^{2}-4)(3x^{2}+x-4)}< 0\)

    Lập bảng xét dấu vế trái: 

    Tập nghiệm của bất phương trình \(S = (-∞; - 8) ∪ \left(- 2; -\frac{4}{3}\right) ∪ (1; 2)\).

d) \(x^2- x - 6 ≤ 0\)

\(x^2- x - 6 =0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Tập nghiệm của bất phương trình là: \(S =[- 2; 3]\).

Bài 4 trang 105 sgk đại số 10

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để các phương trình sau vô nghiệm

a) \((m - 2)x^2+ 2(2m – 3)x + 5m – 6 = 0\); 

b) \((3 - m)x^2- 2(m + 3)x + m + 2 = 0\).

Giải

a) +) Với \(m = 2\) phương trình trở thành \(2x + 4 = 0\) có \(1\) nghiệm, do đó trường hợp này không thỏa mãn.

    +) Với \(m\ne 2\)

   Phương trình vô nghiệm nếu:

    \(\left\{\begin{matrix} m-2\neq 0\\ \Delta ^{'}=(2m-3)^{2}-(m-2)(5m-6)< 0 \end{matrix}\right.\)

    \( \Leftrightarrow \) \(\left\{\begin{matrix} m-2\neq 0\\ -m^{2}+4m-3< 0 \end{matrix}\right.\) 

   \( \Leftrightarrow m < 1 ∪ m > 3\).

b) +) Với \(m = 3\), phương trình trở thành: \(- 6x + 5 = 0\) có nghiệm. Loại trường hợp \(m = 3\).

    +) Với \(m\ne 3\)

    Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \ne 3 \hfill \cr
\Delta ' = {(m + 3)^2} - (3 - m).(m + 2) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \ne 3 \hfill \cr
2{m^2} + 5m + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - {3 \over 2} < m < - 1 \cr
& \cr} \)

 Giaibaitap.me