Bài 1 trang 87 sgk đại số 10

 Tìm các giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau:

a) \(\frac{1}{x}< 1-\frac{1}{x+1};\)                                         

b)  \(\frac{1}{x^{2}-4}< \frac{2x}{x^{2}-4x+3};\)

c) \(2|x| - 1 + \sqrt[3]{x-1}<\frac{2x}{x+1};\)                      

d) \(2\sqrt{1-x}> 3x + \frac{1}{x+4}.\)

Giải

a) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in\mathbb R|x \ne 0,x + 1 \ne 0} \right\} =\mathbb R\backslash \left\{ {0; - 1} \right\}\)

b) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in\mathbb R|{x^2} - 4 \ne 0,{x^2} - 4x + 3 \ne 0} \right\} =\mathbb R\backslash \left\{ { \pm 2;1;3} \right\}\)

c) ĐKXĐ: \(D =\mathbb R\backslash {\rm{\{ }} - 1\} \)

d) ĐKXĐ: \(D = \left\{ {x \in \mathbb R|x + 4 \ne 0,1 - x \ge 0} \right\} = ( - \infty ; - 4) \cup ( - 4;1]\)

Bài 2 trang 88 sgk đại số 10

Chứng minh các bất phương trình sau vô nghiệm.

a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3;\)

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2};\)

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1.\)

Giải

a) \(x^2+ \sqrt{x+8}\leq -3\)

Gọi \(D\) là điều kiện xác định của biểu thức vế trái \(D = [- 8; +∞)\). Vế trái dương với mọi \(x ∈ D\) trong khi vế phải là số âm. Mệnh đề sai với mọi \(x ∈ D\). Vậy bất phương trình vô nghiệm.

b) \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}+\sqrt{5-4x+x^{2}}< \frac{3}{2}\)

Vế trái có \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\),

 \(\sqrt{5-4x+x^{2}}=\sqrt{1+(x-2)^{2}}≥ 1 ∀x ∈\mathbb R\)

Suy ra: \(\sqrt{1+2(x-3)^{2}}\) + \(\sqrt{5-4x+x^{2}} ≥ 2, ∀ x ∈\mathbb R\)

Mệnh đề sai \(∀x ∈\mathbb R\).

Bất phương trình vô nghiệm.

c) \(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{7+x^{2}}> 1\)

\(\eqalign{
& 1 + {x^2} < 7 + {x^2} \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} < \sqrt {7 + {x^2}} \cr
& \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} < 0 \cr} \)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + {x^2}} - \sqrt {7 + {x^2}} > 1\) Vô nghiệm.

Bài 3 trang 88 sgk đại số 10

Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương?

a) \(- 4x + 1 > 0\) và \(4x - 1 <0\);

b) \(2x^2+5 ≤ 2x – 1\) và \(2x^2– 2x + 6 ≤ 0\);

c) \(x + 1 > 0\) và \(x + 1 + \frac{1}{x^{2}+1}>\frac{1}{x^{2}+1};\)

d) \(\sqrt{x-1} ≥ x\) và \((2x +1)\sqrt{x-1} ≥ x(2x + 1)\).

Giải

a) Tương đương. Vì nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \(-1\) và đổi chiều bất phương trình thì được bất phương trình thứ 2.

b) Chuyển vế các hạng tử vế phải sang vế trái ở bất phương trình thứ nhất thì được bất phương trình thứ hai tương đương.

c) Tương đương. Vì cộng hai vế bất phương trình thứ nhất với \(\frac{1}{x^{2}+1} > 0\) với mọi \(x\) ta được bất phương trình thứ 3.

d) Điều kiện xác định bất phương trình thứ nhất: \(D =[1;+\infty)\).

\(2x + 1 > 0 , ∀x ∈ D\).

Nhân hai vế bất phương trình thứ nhất với \((2x + 1) \) ta được phương trình thứ hai. Vậy hai bất phương trình tương đương.  

Bài 4 trang 88 sgk đại số 10

Giải các bất phương trình sau

a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4};\)

b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 ≤ (x - 1)(x + 3) + x^2– 5\).

Giải

a) \(\frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}< \frac{1-2x}{4}\)

\( \Leftrightarrow \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}-\frac{1-2x}{4}<0\)

\( \Leftrightarrow 12\left [ \frac{3x+1}{2}-\frac{x-2}{3}-\frac{1-2x}{4}\right ]<0\)

\( \Leftrightarrow 6(3x + 1) - 4(x - 2) - 3(1 - 2x) < 0\)

\( \Leftrightarrow 20x + 11 < 0\)

\( \Leftrightarrow20x < - 11\)

\( \Leftrightarrow x < -\frac{11}{20}.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(T = \left( { - \infty ; - {{11} \over {20}}} \right)\)

b) \((2x - 1)(x + 3) - 3x + 1 ≤ (x - 1)(x + 3) + x^2– 5\)

\( \Leftrightarrow 2x^2+ 5x – 3 – 3x + 1 ≤ x^2+ 2x – 3 + x^2- 5\)

\( \Leftrightarrow 0x ≤ -6\) ( Vô nghiệm).

Vậy bất phương trình vô nghiệm.  

Bài 5 trang 88 sgk đại số 10

Giải các hệ bất phương trình

a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} 15x-2>2x+\frac{1}{3}\\ 2(x-4))< \frac{3x-14}{2}. \end{matrix}\right.\)

Giải

a) \(\left\{\begin{matrix} 6x+\frac{5}{7}<4x+7\\ \frac{8x+3}{2}< 2x+5; \end{matrix}\right.\)

\(6x + \frac{5}{7}< 4x + 7  \Leftrightarrow     6x - 4x < 7 - \frac{5}{7}  \Leftrightarrow  x < \frac{22}{7}\) (1)

\(\frac{8x+3}{2} < 2x +5   \Leftrightarrow     4x - 2x < 5 - \frac{3}{2}    \Leftrightarrow    x < \frac{7}{4}\) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình: 

                  \(T= (-\infty ;\frac{22}{7})\) ∩ \((-\infty ;\frac{7}{4})\) = \((-\infty ;\frac{7}{4})\).

b) \(15x - 2 > 2x + \frac{1}{3} \Leftrightarrow   x > \frac{7}{39}\)  (1)

    \( 2(x - 4) < \frac{3x-14}{2} \Leftrightarrow       x < 2\)    (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được tập nghiệm của hệ bất phương trình là: \(S = \left ( \frac{7}{39} ; +\infty \right ) ∩ (-∞; 2) = \left ( \frac{7}{39} ; 2\right ).\)

Giaibaitap.me