Câu 68 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Khử mẫu của mỗi biểu thức lấy căn và rút gọn ( nếu được):

a) \(\sqrt {{2 \over 3}} \);

b) \(\sqrt {{{{x \over 5}}^2}} \) với \(x \ge 0\);

c) \(\sqrt {{3 \over x}} \) với x>0;

d) \(\sqrt {{x^2} - {{{x \over 7}}^2}} \) với x<0.

Gợi ý làm bài

a) \(\sqrt {{2 \over 3}} \) = \(\sqrt {{{2.3} \over {{3^2}}}}  = {1 \over 3}\sqrt 6\)

b) \(\sqrt {{{{x \over 5}}^2}} \) \( = \sqrt {{{{x^2}} \over 5}}  = \sqrt {{{{x^2}.5} \over {{5^2}}}}  = {x \over 5}\sqrt 5 \) (với \(x \ge 0\))

c) \(\sqrt {{3 \over x}} \) \( = \sqrt {{{3x} \over {{x^2}}}}  = {1 \over {\left| x \right|}}\sqrt {3x}  = {1 \over x}\sqrt {3x} \) (với x>0)

d) \(\sqrt {{x^2} - {{{x \over 7}}^2}} \) \( = \sqrt {{{7{x^2} - {x^2}} \over 7}} \)

\( = \sqrt {{{42{x^2}} \over {49}}}  = {{\left| x \right|} \over 7}\sqrt {42}  =  - {x \over 7}\sqrt {42} \) (với x<0)

Câu 69 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Trục căn thức ở mẫu và rút gọn ( nếu được):

a) \({{\sqrt 5  - \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }}\);

b) \({{26} \over {5 - 2\sqrt 3 }}\);

c) \({{2\sqrt {10}  - 5} \over {4 - \sqrt {10} }}\);

d) \({{9 - 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt 6  - 2\sqrt 2 }}\).

Gợi ý làm bài

a) \({{\sqrt 5  - \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }}\) \( = {{(\sqrt 5  - \sqrt 3 )\sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{\sqrt {10}  - \sqrt 6 } \over 2}\)

b) \({{26} \over {5 - 2\sqrt 3 }}\) \( = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {(5 - 2\sqrt 3 )(5 + 2\sqrt 3 )}} = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {25 - 12}}\)

\( = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {13}} = 2(5 + 2\sqrt 3 ) = 10 + 4\sqrt 3 \)

c) \({{2\sqrt {10}  - 5} \over {4 - \sqrt {10} }}\) \( = {{2\sqrt {2.5}  - \sqrt {{5^2}} } \over {2\sqrt {{2^2}}  - \sqrt {2.5} }}\)

\( = {{\sqrt 5 (2\sqrt 2  - \sqrt 5 )} \over {\sqrt 2 (2\sqrt 2  - \sqrt 5 )}} = {{\sqrt 5 } \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 5 .\sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}}\) \( = {{\sqrt {10} } \over 2}\)

d) \({{9 - 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt 6  - 2\sqrt 2 }}\) \(= {{3\sqrt {{3^2}}  - 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt {3.2}  - 2\sqrt 2 }}\)

\( = {{\sqrt 3 (3\sqrt 3  - 2)} \over {\sqrt 2 (3\sqrt 3  - 2)}} = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt {3.} \sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{\sqrt 6 } \over 2}\)

Câu 70 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) \({2 \over {\sqrt 3  - 1}} - {2 \over {\sqrt 3  + 1}}\)

b) \({5 \over {12(2\sqrt 5  + 3\sqrt 2 )}} - {5 \over {12(2\sqrt 5  - 3\sqrt 2 )}}\)

c) \({{5 + \sqrt 5 } \over {5 - \sqrt 5 }} + {{5 - \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}\)

d) \({{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3  + 1}  - 1}} - {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3  + 1}  + 1}}\)

Gợi ý làm bài

a) \({2 \over {\sqrt 3  - 1}} - {2 \over {\sqrt 3  + 1}}\) \(= {{2(\sqrt 3  + 1) - 2(\sqrt 3  - 1)} \over {(\sqrt 3  + 1)(\sqrt 3  - 1)}}\)

\( = {{2\sqrt 3  + 2 - 2\sqrt 3  + 2} \over {3 - 1}} = {4 \over 2} = 2\)

b) \({5 \over {12(2\sqrt 5  + 3\sqrt 2 )}} - {5 \over {12(2\sqrt 5  - 3\sqrt 2 )}}\)

\( = {{5(2\sqrt 5  - 3\sqrt 2 ) - 5(2\sqrt 5  + 3\sqrt 2 )} \over {12(2\sqrt 5  + 3\sqrt 2 )(2\sqrt 5  - 3\sqrt 2 )}}\)

\(\eqalign{
& = {{10\sqrt 5 - 15\sqrt 2 - 10\sqrt 5 - 15\sqrt 2 } \over {12(20 - 18)}} \cr 
& = {{ - 30\sqrt 2 } \over {12.2}} = - {{5\sqrt 2 } \over 4} \cr} \)

c) \({{5 + \sqrt 5 } \over {5 - \sqrt 5 }} + {{5 - \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}\) \(= {{{{(5 + \sqrt 5 )}^2} + {{(5 - \sqrt 5 )}^2}} \over {(5 + \sqrt 5 )(5 - \sqrt 5 )}}\)

\( = {{25 + 10\sqrt 5  + 5 + 25 - 10\sqrt 5  + 5} \over {25 - 5}} = {{60} \over {20}} = 3\)

d) \({{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3  + 1}  - 1}} - {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3  + 1}  + 1}}\)

\( = {{\sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3  + 1}  + 1) - \sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3  + 1}  - 1)} \over {(\sqrt {\sqrt 3  + 1}  + 1)(\sqrt {\sqrt 3  + 1}  - 1)}}\)

\(\eqalign{
& = {{\sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 - \sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1 - 1}} \cr 
& = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr} \)

 Câu 71 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

 Chứng minh đẳng thức:

\(\sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = {1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\) với n là số tự nhiên.

Gợi ý làm bài

Ta có: \({1 \over {\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\) \( = {{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \over {(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n )(\sqrt {n + 1}  - \sqrt n )}}\)

\( = {{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \over {{{(\sqrt n  + 1)}^2} - {{(\sqrt n )}^2}}}\)

\( = {{\sqrt {n + 1}  - \sqrt n } \over {n + 1 - n}} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n \)

(với n là số tự nhiên)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Giaibaitap.me