Câu 103 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh

\(x - \sqrt x  + 1 = {\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) với x > 0

Từ đó, cho biết biểu thức \({1 \over {x - \sqrt x  + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu ?

Gợi ý làm bài:

Ta có: \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = x - \sqrt x  + {1 \over 4} + {3 \over 4} = x - \sqrt x  + 1\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có: \({1 \over {x - \sqrt x  + 1}} = {1 \over {{{\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\)  bé nhất.

Vì \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\)

Ta có \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\) bé nhất bằng \({3 \over 4}\)

Khi đó: \({1 \over {x - \sqrt x  + 1}} = {1 \over {{3 \over 4}}} = {4 \over 3} \Rightarrow \sqrt x  - {1 \over 2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 4}\)

Vậy \({1 \over {x - \sqrt x  + 1}}\) có giá trị lớn nhất bằng \({4 \over 3}\) khi \(x = {1 \over 4}\).

Câu 104 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm số x nguyên để biểu thức \({{\sqrt x  + 1} \over {\sqrt x  - 3}}\) nhận giá trị nguyên.

Gợi ý làm bài:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}} = {{\sqrt x - 3 + 4} \over {\sqrt x - 3}} \cr 
& = 1 + {4 \over {\sqrt x - 3}} \cr}\)                   

Để \(1 + {4 \over {\sqrt x  - 3}}\) nhận giá trị nguyên thì \({4 \over {\sqrt x  - 3}}\) phải có giá trị nguyên.

Vì x nguyên nên \(\sqrt x \) là số nguyên hoặc số vô tỉ.

*Nếu \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(\sqrt x  - 3\) là số vô tỉ nên \({4 \over {\sqrt x  - 3}}\) không có giá trị nguyên.

Trường hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức nhận giá trị nguyên.

*Nếu \(\sqrt x \) là số nguyên thì \(\sqrt x  - 3\) là số nguyên. Vậy để \({4 \over {\sqrt x  - 3}}\) nguyên thì \(\sqrt x  - 3\) phải là ước của 4.

Đồng thời \(x \ge 0\) suy ra: \(\sqrt x  \ge 0\)

Ta có: Ư(4) = \({\rm{\{ }} - 4; - 2; - 1;1;2;4{\rm{\} }}\)

Suy ra: \(\sqrt x  - 3 =  - 4 \Rightarrow \sqrt x  =  - 1\) (loại)

\(\eqalign{
& \sqrt x - 3 = - 2 \Rightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1 \cr 
& \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Rightarrow x = 4 \cr 
& \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 \cr 
& \sqrt x - 3 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 \cr 
& \sqrt x - 3 = 2 \Rightarrow \sqrt x = 5 \Rightarrow x = 25 \cr 
& \sqrt x - 3 = 4 \Rightarrow \sqrt x = 7 \Rightarrow x = 49 \cr} \) 

Vậy với \(x \in {\rm{\{ }}1;4;16;25;49\} \) thì biểu thức \({{\sqrt x  + 1} \over {\sqrt x  - 3}}\) nhận giá trị nguyên

Câu 105 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b )

a) \({{\sqrt a  + \sqrt b } \over {2\sqrt a  - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a  - \sqrt b } \over {2\sqrt a  + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a  - \sqrt b }}\);

b) \(\left( {{{a\sqrt a  + b\sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a  + \sqrt b } \over {a - b}}} \right)^2} = 1.\)

Gợi ý làm bài:

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} \cr 
& = {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} - {{2b} \over {b - a}} \cr 
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} + {{2b} \over {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{a + 2\sqrt {ab} + b - a + 2\sqrt {ab} - b + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{4\sqrt {ab} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{4\sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr 
& = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr} \)

  (với a, b không âm và a ≠b )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b. Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a - b}}} \right)^2} \cr 
& = \left( {{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left[ {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}} \right]^2} \cr 
& = \left[ {{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \right)} \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right]{\left( {{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }}} \right)^2} \cr 
& = \left( {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - \sqrt {ab} } \right){1 \over {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} \cr 
& = {{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} = 1 \cr} \) 

 (với a, b không âm và a ≠b  )

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Giaibaitap.me