Câu 85 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

\(P = {{\sqrt x  + 1} \over {\sqrt x  - 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x  + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}\)

a) Rút gọn P với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\)

b) Tìm x để P = 2.

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4\)

Ta có:

\(P = {{\sqrt x  + 1} \over {\sqrt x  - 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x  + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}\)

\( = {{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  + 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} - {2^2}}} + {{2\sqrt x (\sqrt x  - 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} - {2^2}}} - {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}\)

\( = {{x + 2\sqrt x  + \sqrt x  + 2} \over {x - 4}} + {{2x - 4\sqrt x } \over {x - 4}} - {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}\)

\( = {{x + 3\sqrt x  + 2 + 2x - 4\sqrt x  - 2 - 5\sqrt x } \over {x - 4}}\)

\( = {{3x - 6\sqrt x } \over {x - 4}} = {{3\sqrt x (\sqrt x  - 2)} \over {(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 2)}} = {{3\sqrt x } \over {\sqrt x  + 2}}\)

b) Ta có: P = 2 \(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} = 2 \cr
& \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2(\sqrt x + 2) \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt x + 4 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16\)

Câu 86 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho biểu thức:

\(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a  - 1}} - {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a  + 1} \over {\sqrt a  - 2}} - {{\sqrt a  + 2} \over {\sqrt a  - 1}}} \right)\)

a) Rút gọn Q với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\).

b) Tìm giá trị của a để Q dương.

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a  - 1}} - {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a  + 1} \over {\sqrt a  - 2}} - {{\sqrt a  + 2} \over {\sqrt a  - 1}}} \right)\)

\( = {{\sqrt a  - \left( {\sqrt a  - 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right) - \left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)} \over {\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\)

\( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}:{{a - 1 - 1 + 4} \over {\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)}}\)

\( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}.{{\left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt {a - 1} } \right)} \over 3}\)

\( = {{\sqrt a  - 2} \over {3\sqrt a }}\) (với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\))

b) Ta có: \(a \ge 0\) nên \(\sqrt a  > 0\)

Khi đó: \(Q = {{\sqrt a  - 2} \over {3\sqrt a }}\) dương khi \(\sqrt a  - 2 > 0\)

Ta có: \(\sqrt a  - 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a  > 2 \Leftrightarrow a > 4\)

Vậy khi a>4 thì Q>0

Câu 87 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với ba số  a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức:

\(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.

Gợi ý làm bài

Vì a, b và c không âm nên  và $\sqrt c $ tồn tại.

Ta có: \({\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} \)

\({\left( {\sqrt b  - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} \)

\({\left( {\sqrt c  - \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra:

\(\eqalign{
& c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} \)

Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có:

\({{a + b} \over 2} + {{b + c} \over 2} + {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

\( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \)

- Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có:

\(a + b + c + d \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {da} \)

- Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:

\(a + b + c + d + e \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {cd}  + \sqrt {de}  + \sqrt {ea} \)

Giaibaitap.me