Câu 43 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x thỏa mãn điều kiện

a) \(\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}}  = 2\)

b) \({{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2\)

c) \(\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}}  = 3\)

d) \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} \)  xác định khi và chỉ khi  \({{2x - 3} \over {x - 1}} \ge 0\)

Trường hợp 1:  

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x - 3 \ge 0 \hfill \cr 
x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \ge 3 \hfill \cr 
x > 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1,5 \hfill \cr 
x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \)

Trường hợp 2: 

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x - 3 \le 0 \hfill \cr 
x - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \le 3 \hfill \cr 
x < 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \le 1,5 \hfill \cr 
x < 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < 1 \cr} \)

Với x ≥ 1,5 hoặc x < 1 ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{2x - 3} \over {x - 1}}} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr 
& \Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr 
& \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \)

Giá trị x = 0,5 thỏa mãn điều kiện x < 1.

b) Ta có: \({{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }}\) xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x - 3 \ge 0 \hfill \cr 
x - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \ge 3 \hfill \cr 
x > 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge 1,5 \hfill \cr 
x > 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 1,5 \cr} \)

Với x ≥ 1,5 ta có: 

\(\eqalign{
& {{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow {{2x - 3} \over {x - 1}} = 4 \cr 
& \Leftrightarrow 2x - 3 = 4(x - 1) \cr} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2x - 3 = 4x - 4 \cr 
& \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = 0,5 \cr} \)

Giá trị x = 0,5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để  \({{\sqrt {2x - 3} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2\)

c) Ta có: \(\sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{4x + 3} \over {x + 1}} \ge 0\)

Trường hợp 1:  

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x + 3 \ge 0 \hfill \cr 
x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x \ge - 3 \hfill \cr 
x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 0,75 \hfill \cr 
x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \)

Trường hợp 2:  

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x + 3 \le 0 \hfill \cr 
x + 1 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x \le - 3 \hfill \cr 
x < - 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 0,75 \hfill \cr 
x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr} \)

Với x ≥ -0,75 hoặc x < -1 ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{4x + 3} \over {x + 1}}} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr 
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr 
& \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \)

Giá trị x = -1,2 thỏa mãn điều kiện x < -1.

d) Ta có : \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }}\) xác định khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
4x + 3 \ge 0 \hfill \cr 
x + 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4x \ge - 3 \hfill \cr 
x > - 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge - 0,75 \hfill \cr 
x > - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - 0,75 \cr} \)

Với x ≥ -0,75 ta có: 

\(\eqalign{
& {{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3 \Leftrightarrow {{4x + 3} \over {x + 1}} = 9 \cr 
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9(x + 1) \cr} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4x + 3 = 9x + 9 \cr 
& \Leftrightarrow 5x = - 6 \Leftrightarrow x = - 1,2 \cr} \)

Vậy không có giá trị nào của x để \({{\sqrt {4x + 3} } \over {\sqrt {x + 1} }} = 3.\)

Câu 44 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho hai số a, b không âm. Chứng minh:

\({{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

(Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm). 

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định

Ta có: 

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \)

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b.

Câu 45 trang 12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Với a ≥ 0, b ≥ 0, chứng minh

\(\sqrt {{{a + b} \over 2}}  \ge {{\sqrt a  + \sqrt b } \over 2}\)

Gợi ý làm bài

Vì a ≥ 0 nên \(\sqrt a \) xác định, b ≥ 0 nên \(\sqrt b \) xác định

Ta có: 

\(\eqalign{
& {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab} + b \ge 0 \ge a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr} \)

\( \Leftrightarrow a + b + a + b \ge a + b + 2\sqrt {ab} \)

\( \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a } \right)^2} + 2\sqrt {ab}  + {\left( {\sqrt b } \right)^2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2(a + b) \ge {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4} \cr} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge \sqrt {{{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2}} \over 4}} \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt {{{a + b} \over 2}} \ge {{\sqrt a + \sqrt b } \over 2} \cr} \)

Giaibaitap.me