Câu 80 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) \((2 - \sqrt 2 )( - 5\sqrt 2 ) - {(3\sqrt 2  - 5)^2}\);

b) \(2\sqrt {3a}  - \sqrt {75a}  + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}}  - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \) với \(a \ge 0\)

Gợi ý làm bài

a) \((2 - \sqrt 2 )( - 5\sqrt 2 ) - {(3\sqrt 2  - 5)^2}\)

\( =  - 10\sqrt 2  + 5\sqrt {{2^2}}  - (18 - 30\sqrt 2  + 25)\)

\( =  - 10\sqrt 2  + 10 - 18 + 30\sqrt 2  - 25 = 20\sqrt 2  - 33\)

b) \(2\sqrt {3a}  - \sqrt {75a}  + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}}  - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \)

\( = 2\sqrt {3a}  - \sqrt {25.3a}  + a\sqrt {{{9.3} \over {4a}}}  - {2 \over 5}\sqrt {100{a^2}.3a} \)

\( = 2\sqrt {3a}  - 5\sqrt {3a}  + {3 \over 2}\sqrt {3a}  - 4a\sqrt {3a} \) (với a>0)

Câu 81 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) \({{\sqrt a  + \sqrt b } \over {\sqrt a  - \sqrt b }} + {{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }}\)

với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)

b) \({{a - b} \over {\sqrt a  - \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} - \sqrt {{b^3}} } } \over {a - b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\({{\sqrt a  + \sqrt b } \over {\sqrt a  - \sqrt b }} + {{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\sqrt a  + \sqrt b }} = {{{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}\)

\( = {{a + 2\sqrt {ab}  + b + a - 2\sqrt {ab}  + b} \over {a - b}}\)

\( = {{2(a + b)} \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))

b) Ta có: \({{a - b} \over {\sqrt a  - \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} - \sqrt {{b^3}} } } \over {a - b}}\)

\( = {{(a - b)(\sqrt a  + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} - {{a\sqrt a  - b\sqrt b } \over {a - b}}\)

\( = {{a\sqrt a  + a\sqrt b  - b\sqrt a  - b\sqrt b } \over {a - b}} - {{a\sqrt a  - b\sqrt b } \over {a - b}}\)

\( = {{a\sqrt a  + a\sqrt b  - b\sqrt a  - b\sqrt b  - a\sqrt a  + b\sqrt b } \over {a - b}}\)

\( = {{a\sqrt b  - b\sqrt a } \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\))

Câu 82 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a) Chứng mình:

\({x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({x^2} + x\sqrt 3  + 1\). Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu?

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\({x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\)

\(\eqalign{
& = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr 
& = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} \)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

\({x^2} + x\sqrt 3  + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\)

Vì \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\)

Giá trị biểu thức \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) bằng \({1 \over 4}\) khi \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0\)

Suy ra: \(x =  - {{\sqrt 3 } \over 2}.\)

Câu 83 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ:

a) \({2 \over {\sqrt 7  - 5}} - {2 \over {\sqrt 7  + 5}}\);

b) \(\,{{\sqrt 7  + 5} \over {\sqrt 7  - 5}} + {{\sqrt 7  - 5} \over {\sqrt 7  + 5}}.\)

Gợi ý làm bài

a) Rút gọn biểu thức ta được \({{ - 10} \over {9}}$\) là số hữu tỉ.

b) Rút gọn biểu thức ta được 12 là số hữu tỉ.

 Giaibaitap.me