Câu 72 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Xác định giá trị biểu thức sau theo cách thích hợp:

${1 \over {\sqrt 2  + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3  + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4  + \sqrt 3 }}$

Gợi ý làm bài

Ta có: ${1 \over {\sqrt 2  + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3  + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4  + \sqrt 3 }}$

$= {{\sqrt 2  - \sqrt 1 } \over {(\sqrt 2  + \sqrt 1 )(\sqrt 2  - \sqrt 1 )}} + {{\sqrt 3  - \sqrt 2 } \over {(\sqrt 3  + \sqrt {2)} (\sqrt 3  - \sqrt 2 )}} + {{\sqrt 4  - \sqrt 3 } \over {(\sqrt 4  + \sqrt 3 )(\sqrt 4  - \sqrt 3 )}}$

$= {{\sqrt 2  - \sqrt 1 } \over {2 - 1}} + {{\sqrt 3  - \sqrt 2 } \over {3 - 2}} + {{\sqrt 4  - \sqrt 3 } \over {4 - 3}}$

$= \sqrt 2  - \sqrt 1  + \sqrt 3  - \sqrt 2  + \sqrt 4  - \sqrt 3$

$=  - \sqrt 1  + \sqrt 4  =  - 1 + 2 = 1$

Câu 73 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi). 

$\sqrt {2005}  - \sqrt {2004}$ với $\sqrt {2004}  - \sqrt {2003}$

Gợi ý làm bài

Ta có:

${1 \over {\sqrt {2005}  + \sqrt {2004} }} = {{\sqrt {2005}  - \sqrt {2004} } \over {(\sqrt {2005}  + \sqrt {2004} )(\sqrt {2005}  - \sqrt {2004} )}}$

$= {{\sqrt {2005}  - \sqrt {2004} } \over {2005 - 2004}} = \sqrt {2005}  - \sqrt {2004} \,(1)$$

Ta có:

${1 \over {\sqrt {2004}  + \sqrt {2003} }} = {{\sqrt {2004}  - \sqrt {2003} } \over {(\sqrt {2004}  + \sqrt {2003} )(\sqrt {2004}  - \sqrt {2003} )}}$

$= {{\sqrt {2004}  - \sqrt {2003} } \over {2004 - 2003}} = \sqrt {2004}  - \sqrt {2003} \,(2)$

Vì $\sqrt {2005}  + \sqrt {2004}$ > $\sqrt {2004}  + \sqrt {2003}$ nên:

${1 \over {\sqrt {2005}  + \sqrt {2004} }} \le {1 \over {\sqrt {2004}  + \sqrt {2003} }}$ (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra: 

$\sqrt {2005}  - \sqrt {2004}$ < $\sqrt {2004}  - \sqrt {2003}$

Câu 74 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

 Rút gọn: 

${1 \over {\sqrt 1  - \sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2  - \sqrt 3 }} + {1 \over {\sqrt 3  - \sqrt 4 }} - {1 \over {\sqrt 4  - \sqrt 5 }} + {1 \over {\sqrt 5  - \sqrt 6 }} -$

$-{1 \over {\sqrt 6  - \sqrt 7 }} + {1 \over {\sqrt 7  - \sqrt 8 }} - {1 \over {\sqrt 8  - \sqrt 9 }}$

Gợi ý làm bài

Ta có:

${1 \over {\sqrt 1  - \sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2  - \sqrt 3 }} + {1 \over {\sqrt 3  - \sqrt 4 }} - {1 \over {\sqrt 4  - \sqrt 5 }} + {1 \over {\sqrt 5  - \sqrt 6 }} -$

$- {1 \over {\sqrt 6  - \sqrt 7 }} + {1 \over {\sqrt 7  - \sqrt 8 }} - {1 \over {\sqrt 8  - \sqrt 9 }}$

$= {{\sqrt 1  + \sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 1 )}^2} - {{(\sqrt 2 )}^2}}} - {{\sqrt 2  + \sqrt 3 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2} - {{(\sqrt 3 )}^2}}} + {{\sqrt 3  + \sqrt 4 } \over {{{(\sqrt 3 )}^2} - {{(\sqrt 4 )}^2}}} - {{\sqrt 4  + \sqrt 5 } \over {{{(\sqrt 4 )}^2} - {{(\sqrt 5 )}^2}}} +$

$+ {{\sqrt 5  + \sqrt 6 } \over {{{(\sqrt 5 )}^2} - {{(\sqrt 6 )}^2}}} - {{\sqrt 6  + \sqrt 7 } \over {{{(\sqrt 6 )}^2} - {{(\sqrt 7 )}^2}}} + {{\sqrt 7  + \sqrt 8 } \over {{{(\sqrt 7 )}^2} - {{(\sqrt 8 )}^2}}} - {{\sqrt 8  - \sqrt 9 } \over {{{(\sqrt 8 )}^2} - {{(\sqrt 9 )}^2}}}$

$= {{\sqrt 1  + \sqrt 2 } \over {1 - 2}} - {{\sqrt 2  + \sqrt 3 } \over {2 - 3}} + {{\sqrt 3  + \sqrt 4 } \over {3 - 4}} - {{\sqrt 4  + \sqrt 5 } \over {4 - 5}} +$

$+ {{\sqrt 5  + \sqrt 6 } \over {5 - 6}} - {{\sqrt 6  + \sqrt 7 } \over {6 - 7}} + {{\sqrt 7  + \sqrt 8 } \over {7 - 8}} - {{\sqrt 8  - \sqrt 9 } \over {8 - 9}}$

$= {{\sqrt 1  + \sqrt 2 } \over { - 1}} - {{\sqrt 2  + \sqrt 3 } \over { - 1}} + {{\sqrt 3  + \sqrt 4 } \over { - 1}} - {{\sqrt 4  + \sqrt 5 } \over { - 1}} +$

$+ {{\sqrt 5  + \sqrt 6 } \over { - 1}} - {{\sqrt 6  + \sqrt 7 } \over { - 1}} + {{\sqrt 7  + \sqrt 8 } \over { - 1}} - {{\sqrt 8  - \sqrt 9 } \over { - 1}}$

$= {{\sqrt 1  - \sqrt 9 } \over { - 1}}$ $= {{\sqrt 1  - \sqrt 9 } \over { - 1}}$

$= \sqrt 9  - \sqrt 1  = 3 - 1 = 2$

Câu 75 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) ${{x\sqrt x  - y\sqrt y } \over {\sqrt x  - \sqrt y }}$ với $x \ge 0,y \ge 0$ và $x \ne y$

b) ${{x - \sqrt {3x}  + 3} \over {x\sqrt x  + 3\sqrt 3 }}$ với $x \ge 0$

Gợi ý làm bài

a) $\eqalign{ & {{x\sqrt x - y\sqrt y } \over {\sqrt x - \sqrt y }} = {{\sqrt {{x^3}} - \sqrt {{y^3}} } \over {\sqrt x - \sqrt y }} \cr  & = {{(\sqrt x - \sqrt y )(x + \sqrt {xy} + y)} \over {\sqrt x - \sqrt y }} \cr}$

$= x + \sqrt {xy}  + y$ (với $x \ge 0,y \ge 0$ và $x \ne y$)

b) $\eqalign{ & {{x - \sqrt {3x} + 3} \over {x\sqrt x + 3\sqrt 3 }} = {{x - \sqrt {3x} + 3} \over {\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{3^3}} }} \cr  & = {{x - \sqrt {3x} + 3} \over {(\sqrt x + \sqrt 3 )(x - \sqrt {3x} + 3)}} \cr}$

$= {1 \over {\sqrt x  + \sqrt 3 }}$(với $x \ge 0$)

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