Bài 57 trang 89 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 57. Trong các hình sau, hình nào nội tiếp được một đường tròn:

Hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang, hình thang vuông, hình thang cân ? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

Hình bình hành nói chung không nội tiếp được đường tròn vì tổng hai góc đối diện không bằng $180^0$.Trường hợp riêng của hình bình hành là hình chữ nhật (hay hình vuông) thì nội tiếp đường tròn vì tổng hai góc đối diện là $90^0$  + $90^0$ = $180^0$

Hình thang nói chung, hình thang vuông không nội tiếp được đường tròn.

Hình thang cân $ABCD (BC= AD)$ có hai góc ở mỗi đáy bằng nhau

$\widehat{A}$ = $\widehat{B}$, $\widehat{C}$ = $\widehat{D}$; mà $\widehat{A}$ +$\widehat{D}$ = $180^0$  (hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến $AD$ với $AD // CD$),suy ra $\widehat{A}$ +$\widehat{C}$ =$180^0$. Vậy hình thang cân luôn có tổng hai góc đối diện bằng $180^0$nên nội tiếp được đường tròn

Bài 58 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 58. Cho tam giác đều $ABC$. Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ không chứa đỉnh $A$, lấy điểm $D$ sao cho $DB = DC$ và $\widehat{DCB}$ =$\frac{1}{2}$ $\widehat{ACB}$.

a) Chứng minh $ABDC$ là tứ giác nội tiếp.

b) Xác định tâm của đường tròn đi qua bốn điểm $A, B, D, C$.

Hướng dẫn giải:

a) Theo giả thiết, $\widehat{DCB}$ =$\frac{1}{2}$ $\widehat{ACB}$ = $\frac{1}{2}$ .$60^0$= $30^0$  

 $\widehat{ACD}$ = $\widehat{ACB}$ + $\widehat{BCD}$ (tia $CB$ nằm giữa hai tia $CA, CD$)

$\Rightarrow$$\widehat{ACD}$ = $60^0$ + $30^0$=$90^0$  (1)

Do $DB = CD$ nên ∆BDC cân => $\widehat{DBC}$ = $\widehat{DCB}$ =  30^o 

Từ đó $\widehat{ABD}$ = $30^0$+$60^0$=$90^0$ (2)

Từ (1) và (2) có $\widehat{ACD}$ + $\widehat{ABD}$ = $180^0$ nên tứ giác $ABDC$ nội tiếp được.

b) Vì $\widehat{ABD}$  = $90^0$nên $AD$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABDC$, do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABDC$ là trung điểm $AD$.

Bài 59 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 59. Cho hình bình hành $ABCD$. Đường tròn đi qua ba đỉnh $A, B, C$ cắt đường thẳng $CD$ tại $P$ khác $C$. Chứng minh $AP = AD$

Hướng dẫn giải:

Do tứ giác $ABCP$ nội tiếp nên ta có:

             $\widehat{BAP}$ + $\widehat{BCP}$ = $180^0$        (1)

Ta lại có: $\widehat{ABC}$+ $\widehat{BCP}$ =  $180^0$       (2)

(hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến $CB$ và $AB // CD$)

Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{BAP}$ = $\widehat{ABC}$

Vậy $ABCP$ là hình thang cân, suy ra $AP = BC$      (3)

nhưng $BC = AD$ (hai cạnh đối đỉnh của hình bình hành)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra $AP = AD$.

Bài 60 trang 90 sgk Toán lớp 9 tập 2

Bài 60. Xem hình 48. Chứng minh $QR // ST$.

Hướng dẫn giải:

Kí hiệu như hình vẽ.

Ta có tứ giác $ISTM$ nội tiếp đường tròn nên:

      $\widehat{S_{1}}$ + $\widehat{M}$ =$180^0$

Mà $\widehat{M_{1}}$ + $\widehat{M_{3}}$ = $180^0$(kề bù)

nên suy ra $\widehat{S_{1}}$ = $\widehat{M_{3}}$                         (1)

Tương tự từ các tứ giác nội tiếp $IMPN$ và $INQS$ ta được 

    $\widehat{M_{3}}$  = $\widehat{N_{4}}$                                   (2)

    $\widehat{N_{4}}$ =  $\widehat{R_{2}}$                                    (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\widehat{S_{1}}$ =  $\widehat{R_{2}}$ (hai góc ở vị trí so le trong).          

Do đó $QR // ST$

Giaibaitap.me