Câu 42 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) 3 và 5;

b) -4 và 7;

c) -5 và \({1 \over 3}\);

d) 1,9 và 5,1;

e) 4 và \(1 - \sqrt 2 \);

f) \(3 - \sqrt 5 \) và \(3 + \sqrt 5 \)

Giải

a) Hai số 3 và 5 là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 3x + 15 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 = 0 \cr} \)

b) Hai số -4 và 7 là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x + 4} \right)\left( {x - 7} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 4x - 28 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 28 = 0 \cr} \)

c) Hai số -5 và \({1 \over 3}\) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x + 5} \right)\left( {x - {1 \over 3}} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - {1 \over 3}x + 5x - {5 \over 3} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 14x - 5 = 0 \cr} \)

d) Hai số 1,9 và 5,1 là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x - 1,9} \right)\left( {x - 5,1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 5,1x - 1,9x + 9,69 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 9,69 = 0 \cr} \)

e) Hai số 4 và \(1 - \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x - 4} \right)\left[ {x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 1 + \sqrt 2 } \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - x + \sqrt 2 x - 4x + 4 - 4\sqrt 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - \left( {5 - \sqrt 2 } \right)x + 4 - 4\sqrt 2 = 0 \cr} \)

f) Hai số \(3 - \sqrt 5 \) và \(3 + \sqrt 5 \) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left[ {x - \left( {3 - \sqrt 5 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {3 + \sqrt 5 } \right)} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - \left( {3 + \sqrt 5 } \right)x - \left( {3 - \sqrt 5 } \right)x + \left( {3 - \sqrt 5 } \right)\left( {3 + \sqrt 5 } \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 4 = 0 \cr} \)

Câu 43 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình \({x^2} + px - 5 = 0\) có nghiệm là x₁, x₂. Hãy lập phương trình có hai nghiệm là hai số được cho trong mỗi trường hợp sau:

a) –x₁ và –x₂

b) \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\)

Giải

Phương trình: \({x^2} + px - 5 = 0\) có hai nghiệm x₁ và x₂. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - {p \over 1} = - p \cr 
& {x_1}{x_2} = {{ - 5} \over 1} = - 5 \cr} \)    (1)

a) Hai số -x₁ và –x₂ là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left[ {x - \left( { - {x_1}} \right)} \right]\left[ {x - \left( { - {x_2}} \right)} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - \left( { - {x_2}x} \right) - \left( { - {x_1}x} \right) + \left( { - {x_1}} \right)\left( { - {x_2}} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2} = 0(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) phương trình phải tìm: \({x^2} - px - 5 = 0\)

b) Hai số \({1 \over {{x_1}}}\) và \({1 \over {{x_2}}}\) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x - {1 \over {{x_1}}}} \right)\left( {x - {1 \over {{x_2}}}} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - {1 \over {{x_2}}}x - {1 \over {{x_1}}}x + {1 \over {{x_1}}}.{1 \over {{x_2}}} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - \left( {{1 \over {{x_1}}} + {1 \over {{x_2}}}} \right)x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - {{{x_1} + {x_2}} \over {{x_1}{x_2}}}x + {1 \over {{x_1}{x_2}}} = 0(3) \cr} \)

Từ (1) và (3) suy ra phương trình phải tìm:

\(\eqalign{
& {x^2} - {{ - p} \over { - 5}}x + {1 \over { - 5}} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - {p \over 5}x - {1 \over 5} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 5{x^2} - px - 1 = 0 \cr} \)

Câu 44 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình \({x^2} - 6x + m = 0.\) Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁,x₂ thỏa mãn điều kiện x₁ – x₂ = 4.

Giải

Phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\) có hai nghiệm x₁, x₂. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} =  - {{ - 6} \over 1} = 6\)

Theo bài ra ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 6} \cr 
{{x_1} - {x_2} = 4} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2{x_1} = 10} \cr 
{{x_1} - {x_2} = 4} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x_1} = 5} \cr 
{5 - {x_2} = 4} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x_1} = 5} \cr 
{{x_2} = 1} \cr} } \right.} \right.} \right.} \right.\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {m \over 1} = m \Rightarrow m = 5.1 = 5\)

Vậy m = 5 thì phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\) có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1} - {x_2} = 4\)

Giaibaitap.me