Câu 7.1 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) \({x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0\)

b) \(5 - \sqrt {3 - 2x}  = \left| {2x - 3} \right|\)

Giải

a)

\(\eqalign{
& {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right]^2} + 2.x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr} \)

Đặt \(x\left( {x - 1} \right) = t\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 3 = 0\) có dạng \(a + b + c = 0\)

\(1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} =  - 3\)

Với t₁ = 1 ta có: \(x\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 1 + 4 = 5 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr 
& {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr 
& {x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)

Với t₂ = -3 ta có: \(x\left( {x - 1} \right) =  - 3 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0\)

\(\Delta  = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.3 = 1 - 12 =  - 11 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\)

b) \(5 - \sqrt {3 - 2x}  = \left| {2x - 3} \right|\) điều kiện \(3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\)

\( \Rightarrow 5 - \sqrt {3 - 2x}  = 3 - 2x\) đặt \(\sqrt {3 - 2x}  = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \(5 - t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} + t - 5 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 1 + 20 = 21 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr 
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt {21} } \over {2.1}} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr 
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt {21} } \over {2.1}} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \cr} \)

\({t_2} =  - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} < 0\) loại

\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {3 - 2x} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr 
& \Rightarrow 3 - 2x = {{21 - 2\sqrt {21} + 1} \over 4} \cr 
& \Leftrightarrow 12 - 8x = 22 - 2\sqrt {21} \cr 
& \Leftrightarrow 8x = 12 - 22 + 2\sqrt {21} \cr 
& \Rightarrow x = {{2\left( {\sqrt {21} - 5} \right)} \over 8} = {{\sqrt {21} - 5} \over 4} \cr} \)

Phương trình có 1 nghiệm: \(x = {{\sqrt {21}  - 5} \over 4}\)

Câu 7.2 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình \(x + 2\sqrt {x - 1}  - {m^2} + 6m - 11 = 0\)

a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

Giải

a) Khi m = 2 ta có phương trình: \(x + 2\sqrt {x - 1}  - 3 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)

Đặt \(\sqrt {x - 1}  = t \Rightarrow t \ge 0;x + 2\sqrt {x - 1}  - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  - 2 = 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 2 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 2} \right) = 1 + 2 = 3 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \cr 
& {t_1} = {{ - 1 + \sqrt 3 } \over 1} = - 1 + \sqrt 3 \cr 
& {t_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 } \over 1} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr} \)

\({t_2} =  - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) < 0\) loại

\(\eqalign{
& \Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt 3 - 1 \cr 
& \Rightarrow x - 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 \cr 
& \Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 3 \cr} \)

Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 5 - 2\sqrt 3 \)

b) \(x + 2\sqrt {x - 1}  - {m^2} + 6m - 11 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)

\( \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1}  - {m^2} + 6m - 10 = 0\)

Đặt \(\sqrt {x - 1}  = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - {m^2} + 6m - 10 = 0\)

\(a = 1 > 0;c =  - {m^2} + 6m - 10 =  - \left( {{m^2} - 6m + 9 + 1} \right) =  - \left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 1} \right] < 0\)

nên c < 0 ⇒ a và c khác dấu, phương trình có hai nghiệm.

Phân biệt t₁ và t₂ trái dấu nhau. Giả sử t₁ > 0 \( \Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\)

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm

Câu 7.3 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)

Tìm giá trị của m để phương trình

\(\left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\)

có đúng ba nghiệm phân biệt.

Giải

Phương trình:

\(\eqalign{
& \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(1)} \cr 
{{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(2)} \cr} } \right. \cr} \)

Ta xét phương trình (1): \({x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)

\({\Delta _1}' = {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left[ { - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = {m^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\) với mọi m

Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta xét phương trình (2): \({x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\) 

\(\eqalign{
& {\Delta _2}' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left[ { - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \cr 
& = 4 + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) \cr 
& = 2{m^3} + 2m + 4 \cr} \)

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _2}' \ge 0\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^3} + {m^2} - {m^2} - m + 2m + 2 \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2}\left( {m + 1} \right) - m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} - m + 2} \right) \ge 0 \cr} \)

Vì \({m^2} - m + 2 = {m^2} - 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} = {\left( {m - {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\)

\( \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 1\)

Vậy với m ≥ -1 thì phương trình (2) có nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi sảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).

Ta có: \({\Delta _2}' = 0\) suy ra m = -1 và nghiệm kép phương trình (2): x = 2

Thay x = 2 vào phương trình (1) ta có: \(4 - 4m - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 4 - 4m - 4{m^2} - 4 \ne 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 4m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr 
& \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr} \)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m \ne 0} \cr 
{m \ne - 1} \cr} } \right.\)

vô lý loại vì m = -1

Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ trong đó có 1 nghiệm giả sử là x₁ cũng là nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {\Delta _2}' > 0 \Leftrightarrow m >  - 1\)

Và

\(\left\{ {\matrix{
{{x_1}^2 - 2m{x_1} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr 
{{x_1}^2 - 4{x_1} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr} } \right.\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2{m^3} + 2m - 4{m^2} - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {{m^3} - 2{m^2} + m - 2} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left[ {{m^2}\left( {m - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2\left( {2 - m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1 \cr} \)

Vì x₁ cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay \({x_1} = {m^2} + 1\) vào phương trình (1) ta có:

\(\eqalign{
& {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{m^2} + 1 - 2m - 4} \right] = 0 \cr} \)

(vì \({m^2} + 1 > 0\) )

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {m^2} + 1 - 2m - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 3} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{m = 3} \cr 
{m = - 1} \cr} } \right. \cr} \)

Vì m > -1 nên m = -1 loại

Vậy m = 3. Thay m = 3 vào phương trình (1) và (2) ta có:

Phương trình (1): \({x^2} - 6x - 40 = 0\)

Phương trình (2): \({x^2} - 4x - 60 = 0\)

Giải phương trình (1):

\(\eqalign{
& {x^2} - 6x - 40 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( { - 40} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \cr 
& {x_1} = {{3 + 7} \over 1} = 10 \cr 
& {x_2} = {{3 - 7} \over 1} = - 4 \cr} \)

Giải phương trình (2):

\(\eqalign{
& {x^2} - 4x - 60 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 60} \right) = 4 + 60 = 64 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8 \cr 
& {x_1} = {{2 + 8} \over 1} = 10 \cr 
& {x_2} = {{2 - 8} \over 1} = - 6 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm khi m = 3

Giaibaitap.me