Câu 45 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) \({\left( {x + 2} \right)^2} - 3x - 5 = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\)

b) \({\left( {x - 1} \right)^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1\)

c) \(x\left( {{x^2} - 6} \right) - {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3}\)

d) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x - 7} \right) = 12x - 23\)

Giải

a)

\(\eqalign{
& {\left( {x + 2} \right)^2} - 3x - 5 = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 3x - 5 = 1 - {x^2} \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 2 = 0 \cr 
& \Delta = 1 - 4.2.\left( { - 2} \right) = 1 + 16 = 17 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {17} \cr 
& {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{\sqrt {17} - 1} \over 4} \cr 
& {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {17} } \over {2.2}} = - {{1 + \sqrt {17} } \over 4} \cr} \)

b)

\(\eqalign{
& {\left( {x - 1} \right)^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1 \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1 \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 2 = 0 \cr 
& \Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.2 = 49 - 16 = 33 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {33} \cr 
& {x_1} = {{7 + \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 + \sqrt {33} } \over 4} \cr 
& {x_2} = {{7 - \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 - \sqrt {33} } \over 4} \cr} \)

c)

\(\eqalign{
& x\left( {{x^2} - 6} \right) - {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3} \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} - 6x - {x^2} + 4x - 4 = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 \cr 
& \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x + 5 = 0 \cr 
& \Delta = {5^2} - 4.4.5 = 25 - 80 = - 55 < 0 \cr} \)

Phương trình vô nghiệm.

d)

\(\eqalign{
& {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x - 7} \right) = 12x - 23 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 4x + 4 + {x^2} - 49 - 12x + 23 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr 
& \Delta ' = {1^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \)

Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 1\)

Câu 46 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình:

a) \({{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\)

b) \({{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\)

c) \({{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\)

d) \({{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\)

e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\)

f) \({{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)

Giải

a) \({{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\) điều kiện: \(x \ne  \pm 1\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow 12\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 21} \right) = 4 + 21 = 25 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \cr 
& {x_1} = {{2 + 5} \over 1} = 7 \cr 
& {x_2} = {{2 - 5} \over 1} = - 3 \cr} \)

Giá trị x = 7; x = -3 thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 7;{x_2} =  - 3\)

b) \({{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\) điều kiện: $x \ne 3;x \ne 1\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow 16\left( {1 - x} \right) + 30\left( {x - 3} \right) = 3\left( {x - 3} \right)\left( {1 - x} \right) \cr 
& \Leftrightarrow 16 - 16x + 30x - 90 = 3x - 3{x^2} - 9 + 9x \cr 
& \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 65 = 0 \cr 
& \Delta ' = {1^2} - 3.\left( { - 65} \right) = 1 + 195 = 196 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {196} = 14 \cr 
& {x_1} = {{ - 1 + 14} \over 3} = {{13} \over 3} \cr 
& {x_2} = {{ - 1 - 14} \over 3} = - 5 \cr} \)

Giá trị \(x = {{13} \over 3}\) và x = -5 thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{13} \over 3};{x_2} =  - 5\)

c) \({{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\) điều kiện: \(x \ne 3;x \ne  - 2\)

\( \Rightarrow {x^2} - 3x + 5 = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\)

Phương trình có dạng:

\(\eqalign{
& a + b + c = 0 \cr 
& 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0 \cr 
& {x_1} = 1;{x_2} = 3 \cr} \)

Giá trị x = 3 không thỏa mãn điều kiện: loại

Vậy phương trình có một nghiệm x = 1

d) \({{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) điều kiện: \(x \ne 2;x \ne  - 4\) 

\(\eqalign{
& \Rightarrow 2x\left( {x + 4} \right) - x\left( {x - 2} \right) = 8x + 8 \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - {x^2} + 2x = 8x + 8 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \cr 
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr 
& {x_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \cr 
& {x_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4 \cr} \)

Cả hai giá trị x = 2 và x = -4 không thỏa mãn điều kiện: loại

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\) điều kiện \(x \ne 1\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}} \cr 
& \Rightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = \left( {{x^2} - x + 16} \right)\left( {x - 1} \right) \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = {x^3} - {x^2} + 16x - {x^2} + x - 16 \cr 
& \Leftrightarrow 9{x^2} - 11x - 14 = 0 \cr 
& \Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.9.\left( { - 14} \right) = 625 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr 
& {x_1} = {{11 + 25} \over {2.9}} = {{36} \over {18}} = 2 \cr 
& {x_2} = {{11 - 25} \over {2.9}} = {{ - 14} \over {18}} = - {7 \over 9} \cr} \)

Giá trị x = 2 và \(x =  - {7 \over 9}\) thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} =  - {7 \over 9}\)

f) \({{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {{{x^2} + 9x - 1} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} = {{17} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\) điều kiện \(x \ne  \pm 1\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17\left( {x - 1} \right) \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17x - 17 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 17x - 1 + 17 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 4} \right)^2} - 1.16 = 16 - 16 = 0 \cr} \)

Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 4\)

Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 4

Câu 47 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) \(3{x^2} + 6{x^2} - 4x = 0\)

b) \({\left( {x + 1} \right)^3} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

c) \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x - 1} \right)^2}\)

d) \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)

e) \({\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 10{x^3} - 15x = 0\)

f) \({x^3} - 5{x^2} - x + 5 = 0\)

Giải

Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích.

a) \(3{x^3} + 6{x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right) = 0\)

x = 0 hoặc \(3{x^2} + 6x - 4 = 0\)

\(\eqalign{
& 3{x^2} + 6x - 4 = 0 \cr 
& \Delta ' = {3^2} - 3.\left( { - 4} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {21} \cr 
& {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 3} \cr} \)

Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_3} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 3}\)

b)

\(\eqalign{
& {\left( {x + 1} \right)^3} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - x + 1 = {x^2} - 2x - x + 2 \cr 
& \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 5x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 0 \cr} \)

x = 0 hoặc \({x^2} + 2x + 5 = 0\)

\(\eqalign{
& {x^2} + 2x + 5 = 0 \cr 
& \Delta ' = 1 - 1.5 = 1 - 5 = - 4 < 0 \cr} \)

Phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 0

c)

\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x - 1} \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} - {\left( {4x - 1} \right)^2} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {4x - 1} \right)} \right]\left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {4x - 1} \right)} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x + 1 + 4x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 - 4x + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 0} \cr 
{x + 5 = 0} \cr 
{{x^2} - 3x + 2 = 0} \cr} } \right. \cr} \)

x + 5 = 0 ⇒ x = -5

\({x^2} - 3x + 2 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\), ta có: \(1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\)

\({x_1} = 1;{x_2} = 2\)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} =  - 5;{x_3} = 1;{x_4} = 2\)

d)

\(\eqalign{
& {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} - 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) - 6} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 4} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{{x^2} + 3x + 2 = 0} \cr 
{{x^2} + 3x - 4 = 0} \cr} } \right. \cr} \)

\({x^2} + 3x + 2 = 0\) có dạng: \(a - b + c = 0\), ta có:

\(\eqalign{
& 1 - 3 + 2 = 0 \cr 
& {x_1} = - 1;{x_2} = - 2 \cr} \)

\({x^2} + 3x - 4 = 0\) có dạng: $a + b + c = 0\)

\(\eqalign{
& 1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0 \cr 
& {x_3} = 1;{x_4} = - 4 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: \({x_1} =  - 1;{x_2} =  - 2;{x_3} = 1;{x_4} =  - 4\)

e)

\(\eqalign{
& {\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 10{x^3} - 15x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 5x\left( {2{x^2} + 3} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 3} \right)\left( {2{x^2} + 3 - 5x} \right) = 0 \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{
& 2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 3 > 0 \cr 
& \Rightarrow 2{x^2} - 5x + 3 = 0 \cr} \)

Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& 2 + \left( { - 5} \right) + 3 = 0 \cr 
& {x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2} \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có  2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2}\)

f)

\(\eqalign{
& {x^3} - 5{x^2} - x + 5 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 5} \right) - \left( {x - 5} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr 
& \left[ {\matrix{
{x - 5 = 0} \cr 
{x + 1 = 0} \cr 
{x - 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = 5} \cr 
{x = - 1} \cr 
{x = 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có  3 nghiệm: \({x_1} = 5;{x_2} =  - 1;{x_3} = 1\)

Giaibaitap.me