Câu 48 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình trùng phương:

a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)

b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\)

c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\)

d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\)

e) \({1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0\)

f) \(\sqrt 3 {x^4} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} - 2 = 0\)

Giải

a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} - 8t - 9 = 0\) có dạng \(a - b + c = 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& 1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0 \cr 
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 9} \over 1} = 9 \cr} \)

\({t_1} =  - 1 < 0\) loại

\( \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 3\)

Vậy phương trình đã cho có  2 nghiệm: \({x_1} = 3;{x_2} =  - 3\)

b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\) đặt \({y^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} - 1,16t + 0,16 = 0\)

Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& 1 + \left( { - 1,16} \right) + 0,16 = 0 \cr 
& {t_1} = 1;{t_2} = 0,16 \cr 
& \Rightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \cr 
& {y^2} = 0,16 \Rightarrow y = \pm 0,4 \cr} \)

Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({y_1} = 1;{y_2} =  - 1;{y_3} = 0,4;{y_4} =  - 0,4\)

c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\) đặt \({z^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} - 7t - 144 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.\left( { - 144} \right) = 49 + 576 = 625 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr 
& {t_1} = {{7 + 25} \over {2.1}} = 16 \cr 
& {t_2} = {{7 - 25} \over {2.1}} = - 9 \cr} \)

\({t_2} =  - 9 < 0\) loại

\( \Rightarrow {z^2} = 16 \Leftrightarrow z =  \pm 4\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({z_1} = 4;{z_2} =  - 4\)

d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\) đặt \({t^2} = u \Rightarrow u \ge 0\)

Ta có phương trình: \(36{u^2} - 13u + 1 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.36.1 = 169 - 144 = 25 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr 
& {u_1} = {{13 + 5} \over {2.36}} = {{18} \over {72}} = {1 \over 4} \cr 
& {u_2} = {{13 - 5} \over {2.36}} = {8 \over {72}} = {1 \over 9} \cr 
& {t^2} = {1 \over 4} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 2} \cr 
& {t^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 3} \cr} \)

Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = {1 \over 2};{x_2} =  - {1 \over 2};{x_3} = {1 \over 3};{x_4} =  - {1 \over 3}\)

e)

\(\eqalign{
& {1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^4} - 3{x^2} + 1 = 0 \cr} \)

Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \(2{t^2} - 3t + 1 = 0\)

Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& 2 + \left( { - 3} \right) + 1 = 0 \cr 
& {t_1} = 1;{t_2} = {1 \over 2} \cr 
& \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \cr 
& {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \)

Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} =  - 1;{x_3} = {{\sqrt 2 } \over 2};{x_4} =  - {{\sqrt 2 } \over 2}\)

f) \(\sqrt 3 {x^4} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} - 2 = 0\) đặt \({x_2} = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \(\sqrt 3 {t^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)t - 2 = 0\)

Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt 3 - \left[ { - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \right] + \left( { - 2} \right) \cr 
& = \sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cr 
& = \sqrt 3 - \sqrt 3 + 2 - 2 = 0 \cr 
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

\({t_1} =  - 1 < 0\) loại

\({x^2} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow x =  \pm \sqrt {{{2\sqrt 3 } \over 3}}  =  \pm {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)

Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3};{x_2} =  - {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\)

Câu 49 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.

Giải

Phương trình: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \(a{t^2} + bt + c = 0\)

Vì a và c trái dấu ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: t₁ và t₂

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({t_1}.{t_2} = {c \over a} < 0\) nên t₁ và t₂ trái dấu.

Giả sử t₁ < 0; t₂ > 0. Vì t ≥ 0 ⇒ t₁ < 0 loại

\( \Rightarrow {x^2} = {t_2} \Rightarrow x =  \pm \sqrt {{t_2}} \)

Vậy phương trình trùng phương: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) có hệ số a và c trái dấu thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm đối nhau.

Câu 50 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ:

a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\)

b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\)

c) \({\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0\)

d) \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\)

e) \({{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\)

f) \(x - \sqrt {x - 1}  - 3 = 0\)

Giải

a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\) đặt \(4x - 5 = t,\) ta có phương trình:

\(\eqalign{
& {t^2} - 6t + 8 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr 
& {t_1} = {{3 + 1} \over 1} = 4 \cr 
& {t_2} = {{3 - 1} \over 1} = 2 \cr} \)

Suy ra:

\(\left[ {\matrix{
{4x - 5 = 4} \cr 
{4x - 5 = 2} \cr
} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{4x = 9} \cr 
{4x = 7} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{x = {9 \over 4}} \cr 
{x = {7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.} \right.\)

Phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {9 \over 4};{x_2} = {7 \over 4}\)

b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\) đặt \({x^2} + 3x - 1 = t\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 8 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr 
& {t_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \cr 
& {t_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4 \cr} \)

Với t₁ = 2 ta có: \({x^2} + 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = 9 - 4.1.\left( { - 3} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr 
& {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 1} = - 3 + \sqrt {21} \cr 
& {x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 1} = - 3 - \sqrt {21} \cr} \)

Với t₂ = -4 ta có: \({x^2} + 3x - 1 =  - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\)

\(\Delta  = {3^2} - 4.1.3 = 9 - 12 =  - 3 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} =  - 3 + \sqrt {21} ;{x_2} =  - 3 - \sqrt {21} \)

c)

\(\eqalign{
& {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 5\left( {2{x^2} + x - 2} \right) - 6 = 0 \cr} \)

Đặt \(2{x^2} + x - 2 = t\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 5t - 6 = 0\) có dạng:

\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 5 + \left( { - 6} \right) = 0 \cr 
& {t_1} = 1;{t_2} = - 6 \cr} \)

Với t₁ = 1 ta có: \(2{x^2} + x - 2 = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\)

\(2 + 1 + \left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} =  - {3 \over 2}\)

Với t₂ = -6 ta có: \(2{x^2} + x - 2 =  - 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0\)

\(\Delta  = {1^2} - 4.2.4 = 1 - 32 =  - 31 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} =  - {3 \over 2}\)

d)

\(\eqalign{
& \left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) + 2} \right]\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) - 3 = 0 \cr} \)

Đặt \({x^2} - 3x + 2 = t\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 3 = 0\) có dạng:

\(\eqalign{
& a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \cr 
& {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3 \cr} \)

Với t₁ = 1 ta có: \({x^2} - 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr 
& {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr 
& {x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \)

Với t₂ = -3 ta có: \({x^2} - 3x + 2 =  - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 5 = 0\)

\(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.5 = 9 - 20 =  - 11 < 0\)

Phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)

e)

\(\eqalign{
& {{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2{\left( {{x \over {x + 1}}} \right)^2} - 5\left( {{x \over {x + 1}}} \right) + 3 = 0 \cr} \)

Đặt \({x \over {x + 1}} = t,\) ta có phương trình: \(2{t^2} - 5t + 3 = 0\)

\(2{t^2} - 5t + 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0;2 + \left( { - 5} \right) + 3 = 0\)

\({t_1} = 1;{t_2} = {3 \over 2}\)

Với \({t_1} = 1\) ta có: \({x \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0x = 1\) vô nghiệm

Với t₂ = \({3 \over 2}\) ta có: \({x \over {x + 1}} = {3 \over 2} \Leftrightarrow 2x = 3x + 3 \Rightarrow x =  - 3\)

x = -3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = -3

f) \(x - \sqrt {x - 1}  - 3 = 0\) điều kiện: x ≥ 1

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) - \sqrt {x - 1}  - 2 = 0\) đặt \(\sqrt {x - 1}  = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} - t - 2 = 0\) có dạng: \(a - b + c = 0\)

\(\eqalign{
& 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 1 + 1 - 2 = 0 \cr 
& {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over 1} = 2 \cr} \)

\({t_1} =  - 1 < 0\) loại

Với \({t_2} = 2\) ta có: \(\sqrt {x - 1}  = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\)

x = 5 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 5

Giaibaitap.me