Câu 6.1 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0).\)

Điều nào sau đây đúng?

A) \({x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)

B) \({x_1} + {x_2} =  - {b \over a},{x_1}{x_2} =  - {c \over a}\)

C) \({x_1} + {x_2} = {b \over a},{x_1}{x_2} =  - {c \over a}\)

D) \({x_1} + {x_2} =  - {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)

Giải

x₁, x₂ là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\)

Chọn D \({x_1} + {x_2} =  - {b \over a},{x_1}{x_2} = {c \over a}\)

Câu 6.2 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giả sử x₁, x₂ la hai nghiệm của phương trình \({x^2} + px + q = 0.\) Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ + x₂, x₁x₂.

Giải

Giả sử x₁, x₂ là nghiệm của phương trình: \({x^2} + px + q = 0\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} =  - {p \over 1} =  - p;{x_1}{x_2} = {q \over 1} = q\)

Phương trình có hai nghiệm là \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) tức là phương trình có hai nghiệm là –p và q.

Hai số -p và q là nghiệm của phương trình.

\(\eqalign{
& \left( {x + p} \right)\left( {x - q} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - qx + px - pq = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + \left( {q - p} \right)x - pq = 0 \cr} \)

Phương trình cần tìm: \({x^2} + \left( {p - q} \right)x - pq = 0\)

Câu 6.3 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Dùng định lí Vi-ét, hãy chứng tỏ rằng nếu tam thức \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm x₁ và x₂ thì nó phân tích được thành

\(a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)

Áp dụng:

Phân tích các tam thức sau thành tích:

a) \({x^2} - 11x + 30\)

b) \(3{x^2} + 14x + 8\)

c) \(5{x^2} + 8x - 4\)

d) \({x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 \)

Giải

a) Tam thức bậc hai: \(a{x^2} + bx + c\) có hai nghiệm x₁, x₂ nên phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0(a \ne 0)\) có hai nghiệm x₁, x₂

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - {b \over a};{x_1}{x_2} = {c \over a}(1) \cr 
& a{x^2} + bx + c = a\left( {{x^2} + {b \over a}x + {c \over a}} \right)(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\eqalign{
& a{x^2} + bx + c = a\left[ {{x^2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)x + {x_1}{x_2}} \right] \cr 
& = a\left[ {{x^2} - {x_1}x - {x_2}x + {x_1}{x_2}} \right] \cr 
& = a\left[ {x\left( {x - {x_1}} \right) - {x_2}\left( {x - {x_1}} \right)} \right] \cr 
& = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right) \cr} \)

Áp dụng

a) 

\(\eqalign{
& {x^2} - 11x + 30 = x \cr 
& \Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.1.30 = 121 - 120 = 1 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr 
& {x_1} = {{11 + 1} \over {2.1}} = 6 \cr 
& {x_2} = {{11 - 1} \over {2.1}} = 5 \cr} \)

Ta có: \({x^2} - 11x + 30 = \left( {x - 6} \right)\left( {x + 5} \right)\)

b)

\(\eqalign{
& 3{x^2} + 14x + 8 = 0 \cr 
& \Delta ' = {7^2} - 3.8 = 49 - 24 = 25 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \cr 
& {x_1} = {{ - 7 + 5} \over 3} = - {2 \over 3} \cr 
& {x_2} = {{ - 7 - 5} \over 3} = - 4 \cr 
& 3{x^2} + 14x + 8 = 3\left( {x + {2 \over 3}} \right)\left( {x + 4} \right) = \left( {3x + 2} \right)\left( {x + 4} \right) \cr} \)

c)

\(\eqalign{
& 5{x^2} + 8x - 4 = 0 \cr 
& \Delta ' = {4^2} - 5.\left( { - 4} \right) = 16 + 20 = 36 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {36} = 6 \cr 
& {x_1} = {{ - 4 - 6} \over 5} = - 2 \cr 
& {x_2} = {{ - 4 + 6} \over 5} = {2 \over 5} \cr 
& \Rightarrow 5{x^2} + 8x - 4 = 5\left( {x - {2 \over 5}} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {5x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \cr} \)

d)

\(\eqalign{
& {x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 = 0 \cr 
& \Delta = {\left[ { - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)} \right]^2} - 4.1.\left( { - 3 + \sqrt 3 } \right) \cr 
& = 1 + 4\sqrt 3 + 12 + 12 - 4\sqrt 3 = 25 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr 
& {x_1} = {{1 + 2\sqrt 3 + 5} \over {2.1}} = 3 + \sqrt 3 \cr 
& {x_2} = {{1 + 2\sqrt 3 - 5} \over {2.1}} = \sqrt 3 - 2 \cr 
& {x^2} - \left( {1 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3 + \sqrt 3 = \left[ {x - \left( {3 + \sqrt 3 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {\sqrt 3 - 2} \right)} \right] \cr 
& = \left( {x - 3 - \sqrt 3 } \right)\left( {x - \sqrt 3 + 2} \right) \cr} \)

Câu 6.4 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình

\(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2}).\)

a) Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

b) Khi phương trình có nghiệm x₁, x₂, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

c) Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Giải

Phương trình: \(\left( {2m - 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 4} \right)x + 5m + 2 = 0(m \ne {1 \over 2})\)             (1)

a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\sqrt {\Delta '}  \ge 0\)

\(\eqalign{
& \Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 4} \right)} \right]^2} - \left( {2m - 1} \right)\left( {5m + 2} \right) \cr 
& = {m^2} + 8m + 16 - 10{m^2} - 4m + 5m + 2 \cr 
& = - 9m + 9m + 18 \cr 
& = - 9m\left( {{m^2} - m - 2} \right) \cr 
& = - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \cr 
& \Delta ' \ge 0 \Rightarrow - 9\left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) \le 0 \cr} \)

\( \Rightarrow \left\{ {\matrix{
{m - 2 \ge 0} \cr 
{m + 1 \le 0} \cr} } \right.\)  hoặc

\(\left\{ {\matrix{
{m - 2 \le 0} \cr 
{m + 1 \ge 0} \cr} } \right.\)

\(\left\{ {\matrix{
{m - 2 \ge 0} \cr 
{m + 1 \le 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ge 2} \cr 
{m \le - 1} \cr} } \right.} \right.\)

vô nghiệm

\(\left\{ {\matrix{
{m - 2 \le 0} \cr 
{m + 1 \ge 0} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \le 2} \cr 
{m \ge - 1} \cr} \Leftrightarrow - 1 \le m \le 2} \right.} \right.\)

 Vậy với -1 ≤ m ≤ 2 thì phương trình (1) có nghiệm.

b) Phương trình có hai nghiệm x₁, x₂. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m + 4} \right)} \over {2m - 1}};{x_1}{x_2} = {{5m + 2} \over {2m - 1}}\)

c) Đặt \({x_1} + {x_2} = S;{x_1}{x_2} = P\)

\(S = {{2m + 8} \over {2m - 1}} \Leftrightarrow 2mS - S = 2m + 8 \Leftrightarrow 2m\left( {S - 1} \right) = S + 8\)

Ta có:

\(\eqalign{
& 2m + 8 \ne 2m - 1 \Rightarrow S \ne 1 \cr 
& \Rightarrow m = {{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} \cr} \)

Thay vào biểu thức P ta có:

\(\eqalign{
& P = {{5.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} + 2} \over {2.{{S + 8} \over {2\left( {S - 1} \right)}} - 1}} = {{5S + 40 + 4S - 4} \over {2S + 16 - 2S + 2}} = {{9S + 36} \over {18}} = {{S + 4} \over 2} \cr 
& \Rightarrow 2P = S + 4 \Rightarrow 2P - S = 4 \cr 
& \Rightarrow 2{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 4 \cr} \)

Biểu thức không phụ thuộc vào m

Giaibaitap.me