Bài 41 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và(O); (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh đẳng thức \(AE.AB = AF.AC\)

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường trong (I) và (K)

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Hướng dẫn làm bài:

a) \(OI = OB – IB\) nên (I) tiếp xúc trong với (O)

\(OK = OC – KC\) nên (K) tiêó xúc trong với (O)

\(IK = IH + KH\) nên (I) tiếp xúc ngoài với (K)

b) \(\widehat {BEH} = 90°\) (E thuộc đường tròn đường kính BH)

\( \Rightarrow \widehat {A{\rm{E}}H} = {90^0}\)

Tương tự có \(\widehat {AFH} = {90^0};\widehat {BAC} = {90^0}\)

Tứ giác AEHF có \(\widehat {EAF} = \widehat {AEH} = \widehat {AFH} = {90^0}\) nên là hình chữ nhật.

c) ∆ABH vuông tại H, HE là đường cao nên \(AH^2 = AE. AB\)

∆ACH vuông tại H, HF là đường cao nên \(AH^2 = AF. AC\)

Do đó \(AE. AB = AF. AC\)

d) Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: \(ME = MF = MH = MA\)

Xét ∆MEI và ∆MHI có:

\(ME = MH, IE = IH (=R)\), MI (cạnh chung)

Do đó \(∆MEI = ∆MHI\) (c.c.c)

\(\Rightarrow \widehat {MEI} = \widehat {MHI}\) 

mà \(\widehat {MHI} = {90^0}\) nên \(\widehat {MEI} = {90^0}\) 

⇒ EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)

Chứng minh tương tự có EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

e) Ta có \(EF = AH\) mà \(AH ≤ AO = R\)

Do đó  \(EF ≤ R\), không đổi. Dấu “=” xảy ra \(⇔ H ≡ O\)

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Bài 42 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài. B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Hướng dẫn làm bài:

a) \(MA, MB\) là các tiếp tuyến của đường tròn (O) (gt).

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có \(MA = MB\), MO là tia phân giác \(\widehat {AMB}\)

\(∆MAB\) cân tại \(M (MA = MB)\)

Có MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow MO \bot AB \Rightarrow \widehat {ME{\rm{A}}} = {90^0}\)

Chứng minh tương tự có MO’ là tia phân giác góc \(\widehat {AMC}\) và \(\widehat {MFA} = 90^0\)

\(MO, MO’\) là tia phân giác của hai góc kẻ bù \(\widehat {AMB},\widehat {AMC} \Rightarrow \widehat {EMF} = {90^0}\) 

Tứ giác AEMF là hình chữ nhật (vì \(\widehat {EMF} = \widehat {MEA} = \widehat {MFA} = {90^0}\)  

b) \(∆MAO\) vuông tại A có AE là đường cao nên \(ME. MO = MA^2\)

Tương tự, ta có: \(MF. MO’ = MA^2\)

Do đó, \(ME. MO = MF. MO’ (= MA^2)\)

c) Ta có \(MA = MB = MC\) nên M là tâm đường tròn đường kính BC có bán kính là MA. Mà \(OO’ ⊥ MA\) tại A.

Do đó OO’ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC

d) Gọi K là trung điểm OO’, ta có K là tâm đường tròn có đướng kính là OO’, bán kính KM (\(∆MOO’\) vuông tại M)

Ta có \(OB ⊥ BC, O’C ⊥ BC ⇒ OB // OC.\)

Tứ giác OBCO’ là hình thang có K, M lần lượt là trung điểm các cạnh cạnh bên OO’, BC.

Do đó KM là đường trung bình của hình thang OBCO’ \(⇒ KM // OB\)

Mà \(OB ⊥ BC\) nên \(KM ⊥ BC\)

Ta có \(BC ⊥ KM\) tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO’

Bài 43 trang 128 SGK Toán 9 tập 1

Cho hai đường tròn(O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và \(B (R > r)\). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt cá đường tròn tâm (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB

Hướng dẫn làm bài:

a) Vẽ OM ⊥ CD tại M, O’N ⊥CD tại N, ta có:

 \(MA = MC = {{AC} \over 2};\)

 \(NA = N{\rm{D}} = {{A{\rm{D}}} \over 2}\)

Mặt khác, ta có \(OM ⊥ CD, IA ⊥ CD, O’N ⊥ CD\)

\(⇒ OM // IA //O’N.\)

Hình thang OMNO’ (OM //O’N) có \(IA // OM; IO = IO’\) nên \(MA  = NA.\) Do vậy \(AC = AD\)

b) (O) và (O’) cắt nhau tại A, B

⇒ OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB

\(⇒ IA = IB\)

Mặt khác \(IA = IK\) ( vì K đối xứng với A qua I)

Do đó: \(IA = IB = IK\)

Ta có ∆KBA có BI là đường trung tuyến và \(BI = {{AK} \over 2}\) nên ∆KBA vuông tại B

\(⇒ KB ⊥ AB\)

Giaibaitap.me