Bài 12 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

12.Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) \(\left\{\begin{matrix} x - y =3 & & \\ 3x-4y=2 & & \end{matrix}\right.\);             

b) \(\left\{\begin{matrix} 7x - 3y =5 & & \\ 4x+y=2 & & \end{matrix}\right.\);         

c) \(\left\{\begin{matrix} x +3y =-2 & & \\ 5x-4y=11 & & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) Từ phương trình \(x - y = 3 \Rightarrow x = 3 + y\).

Thay \(x = 3 + y\) vào phương trình \(3x - 4y = 2\) ta được:

\(3(3 + y) - 4y = 2 ⇔ 9 + 3y - 4y = 2\)

                                 \(⇔ -y = -7 ⇔ y = 7\)

Thay \(y = 7\) vào \(x = 3 + y\) ta được \(x = 3 + 7 = 10\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \((10; 7)\).

b) Từ phương trình \(4x + y = 2 \Rightarrow y = 2 - 4x\).

Thay \(y = 2 - 4x\) vào phương trình \( 7x - 3y = 5\) ta được:

\(7x - 3(2 - 4x) = 5 ⇔ 7x - 6 + 12x = 5\)

                                    \(⇔ 19x = 11 ⇔ x = \frac{11}{19}\)

Thay \(x = \frac{11}{19}\) vào \(y = 2 - 4x\) ta được \(y = 2 - 4 . \frac{11}{19} = 2 - \frac{44}{19}= -\frac{6}{19}\)

Hệ phương trình có nghiệm (\(\frac{11}{19}\); -\(\frac{6}{19}\))

c) Từ phương trình \(x + 3y = -2 \Rightarrow x = -2 - 3y\).

Thay \(x=-2-3y\) vào phương trình \(5x - 4y = 11\) ta được:

\(5(-2 - 3y) - 4y = 11⇔ -10 - 15y - 4y = 11\)

                                         \(⇔ -19y = 21 ⇔ y = -\frac{21}{19}\)

Thay \(y=-\frac{21}{19}\) vào \(x=-2-3y\) ta được \(x = -2 -3(-\frac{21}{19}) = -2 + \frac{63}{19} = \frac{25}{19}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (\(\frac{25}{19}\); -\(\frac{21}{19}\)).

Bài 13 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

13. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) \(\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 11 & & \\ 4x - 5y = 3& & \end{matrix}\right.\);               b) \(\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2}- \frac{y}{3} = 1& & \\ 5x - 8y = 3& & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) Từ phương trình thứ nhất ta có \( y = \frac{3x - 11}{2}\). Thế vào phương trình thứ hai ta được:

\(4x - 5.\frac{3x - 11}{2} = 3 ⇔4x-\frac{15}{2}+\frac{55}{2}=3\)

                                \(\Leftrightarrow -\frac{7x}{2}=-\frac{49}{2}⇔ x = 7\).

Thay \(x=7\) vào \(y = \frac{3x - 11}{2}\) ta được \(y = 5\).

Nghiệm của hệ phương trình đã cho là \((7; 5)\)

b) Từ phương trình thứ nhất ta có: \(x = \frac{2y +6}{3}\). Thế vào phương trình thứ hai ta được:

\(5 . \frac{2y +6}{3} - 8y = 3 ⇔ -14y = -21 ⇔ y = \frac{3}{2}\)

Thay \(y = \frac{3}{2}\) vào \(x = \frac{2y +6}{3}\) ta được: \(x = \frac{2 . \frac{3}{2}+ 6}{3}\) = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm \((3; \frac{3}{2})\).

Bài 14 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

14. Giải các hệ phương trình bằng phương pháp thế:

a) \(\left\{\begin{matrix} x + y\sqrt{5} = 0& & \\ x\sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}& & \end{matrix}\right.\);         

b) \(\left\{\begin{matrix} (2 - \sqrt{3})x - 3y = 2 + 5\sqrt{3}& & \\ 4x + y = 4 -2\sqrt{3}& & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = -y\sqrt{5}\).

Thế vào x trong phương trình thứ hai ta được:

\(-y\sqrt{5} . \sqrt{5} + 3y = 1 - \sqrt{5}\) ⇔ \(-2y = 1 - \sqrt{5}\)

                                               ⇔ \(y = \frac{\sqrt{5}- 1}{2}\)

Thay \(y = \frac{\sqrt{5}- 1}{2}\) vào \(x = -y\sqrt{5}\) ta được

 \(x =-\frac{\sqrt{5}- 1}{2} .\sqrt{5} = \frac{-5+\sqrt{5}}{2}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \((x, y)\) = \((\frac{-5+\sqrt{5}}{2}; \frac{-1+ \sqrt{5}}{2})\)

b) Từ phương trình thứ hai ta có \(y = 4 - 2\sqrt{3}- 4x\).

Thế vào y trong phương trình thứ nhất ta được:

\((2 - \sqrt{3})x - 3.(4 - 2\sqrt{3} - 4x) = 2 + 5\sqrt{3}\)

⇔ \((14 - \sqrt{3})x = 14 - \sqrt{3}\) ⇔ \(x = 1\)

Thay \(x=1\) vào \(y = 4 - 2\sqrt{3}- 4x\) ta được

 \(y = 4 - 2\sqrt{3} - 4 . 1 = -2\sqrt{3}\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \((x; y) = (1; -2\sqrt{3})\)

Bài 15 trang 15 sgk Toán 9 tập 2

15. Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ (a^{2} + 1)x + 6y = 2a & & \end{matrix}\right.\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(a = -1\);             b) \(a = 0\);              c) \(a = 1\).

Bài giải:

a) Khi \(a = -1\), ta có hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = -2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = -1 & & \end{matrix}\right.\)

Hệ phương trình vô nghiệm (Do hai đường thẳng song  song với nhau).

b) Khi \(a = 0\), ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 6y = 0 & & \end{matrix}\right.\)

Từ phương trình thứ nhất ta có \(x = 1 - 3y\).

Thế vào \(x\) trong phương trình thứ hai, ta được:

\(1 - 3y + 6y = 0 ⇔ 3y = -1 ⇔ y = -\frac{1}{3}\)

Thay \(y = -\frac{1}{3}\) vào \(x = 1 - 3y\) ta được

 \(x = 1 - 3(-\frac{1}{3}) = 2\)

Hệ phương trình có nghiệm \((x; y) = (2; -\frac{1}{3})\).

c) Khi \(a = 1\), ta có hệ  \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ 2x+ 6y = 2 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x + 3y = 1 & & \\ x+ 3y = 1& & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} x = 1 -3y& & \\ y \in R& & \end{matrix}\right.\)

Hệ phương trình có vô số nghiệm.

Giaibaitap.me