Bài 4 trang 11 sgk Toán 9 tập 2

4. Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

a) \(\left\{\begin{matrix} y = 3 - 2x & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\);                      

b) \(\left\{\begin{matrix} y = -\frac{1}{2}x+ 3 & & \\ y = -\frac{1}{2}x + 1 & & \end{matrix}\right.\);

c) \(\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.\);                           

d) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 3 & & \\ x - \frac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.\)

Bài giải:

a) \(\left\{\begin{matrix} y = 3 - 2x & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -2x + 3 & & \\ y = 3x - 1 & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = -2, a' = 3\) nên \(a ≠ a'\) \(\Rightarrow\)  Hai đường thẳng cắt nhau.

Vậy hệ phương trình có một nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau nên chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất).

b) \(\left\{\begin{matrix} y = -\frac{1}{2}x+ 3 & & \\ y = -\frac{1}{2}x + 1 & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = -\frac{1}{2}, a' = -\frac{1}{2}\), \(b = 3, b' = 1\) nên \(a = a', b ≠ b'\).

 \( \Rightarrow \) Hai đường thẳng song song.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ là hai đường khác nhau và có cùng hệ số góc nên chúng song song với nhau).

c) \(\left\{\begin{matrix} 2y = -3x & & \\ 3y = 2x & & \end{matrix}\right.\)⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = -\frac{3}{2}x & & \\ y = \frac{2}{3}x & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = -\frac{3}{2}, a' = \frac{2}{3}\) nên \(a ≠ a'\) \( \Rightarrow \) Hai đường thẳng cắt nhau.

Vậy hệ phương trình có một nghiêm.

d) \(\left\{\begin{matrix} 3x - y = 3 & & \\ x - \frac{1}{3}y = 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔\(\left\{\begin{matrix} y = 3x - 3 & & \\ \frac{1}{3}y = x - 1 & & \end{matrix}\right.\) ⇔ \(\left\{\begin{matrix} y = 3x - 3 & & \\ y = 3x - 3 & & \end{matrix}\right.\)

Ta có \(a = 3, a' = 3\); \(b = -3, b' = -3\) nên \(a = a', b = b'\).

 \(\Rightarrow\) Hai đường thẳng trùng nhau.

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm (vì hai đường thẳng có phương trình đã cho trong hệ trùng nhau).

Bài 5 trang 11 sgk Toán 9 tập 2

5. Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

a) \( \left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = 1 \hfill \cr x - 2y = - 1 \hfill \cr} \right. \)

b) \( \left\{ \matrix{2{\rm{x + }}y = 4 \hfill \cr - x + y = 1 \hfill \cr} \right. \)

Bài giải:

a) \(\left\{ \matrix{2{\rm{x}} - y = 1 \hfill \cr x - 2y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vẽ (d₁): \(2x - y = 1\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = -1\), ta được \(A(0; -1)\).

Cho \(y = 1 \Rightarrow  x = 1\), ta được \(B(1; 1)\).

Vẽ (d₂): \(x - 2y = -1\)

Cho \(x = -1 \Rightarrow y = 0\), ta được \(C (-1; 0)\).

Cho \(y = 2 \Rightarrow x = 3\), ta được \(D = (3; 2)\).

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm M có tọa độ \(M( 1, 1)\).

Thay \(x = 1, y = 1\) vào các phương trình của hệ ta được:

\(2 . 1 - 1 = 1\) (thỏa mãn)

\(1 - 2 . 1 = -1\) (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm \((x; y) = (1; 1)\).

b) \(\left\{ \matrix{2{\rm{x + }}y = 4 \hfill \cr - x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)

Vẽ (d₁): \(2x + y = 4\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 4\), ta được \(A(0; 4)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\), ta được \(B(2; 0)\).

Vẽ (d₂): \(-x + y = 1\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 1\), ta được \(C(0; 1)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = -1\), ta được \(D(-1; 0)\).

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm N có tọa độ \(N(1;2)\).

Thay \(x = 1, y = 2\) vào các phương trình của hệ ta được:

\(2 . 1 + 2 = 4\) và \(-1 + 2 = 1\) (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có một nghiệm \((x; y) = (1; 2)\).

Bài 6 trang 11 sgk Toán 9 tập 2

6. Đố: Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau. Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai ? Vì sao ? (có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Bài giải:

Bạn Nga đã nhận xét đúng vì hai hệ phương trình cùng vô nghiệm có nghĩa là chúng cùng có tập nghiệm bằng Φ.

Bạn Phương nhân xét sai. Chẳng hạn, hai hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} y = x & & \\ y = x & & \end{matrix}\right.\) và \(\left\{\begin{matrix} y = -x & & \\ y = -x & & \end{matrix}\right.\)

đều có vô số nghiệm nhưng tập nghiệm của hệ thứ nhất được biểu diễn bởi đường thẳng y = x, còn tập nghiệm của phương trình thứ hai được biểu diện bởi đường thẳng y = -x. Hai đường thẳng này là khác nhau nên hai hệ đang xét không tương đương (vì không có cùng tập nghiệm).

Bài 7 trang 12 sgk Toán 9 tập 2

7. Cho hai phương trình \(2x + y = 4\) và \(3x + 2y = 5\).

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong mỗi một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

Bài giải:

a) \(2x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}-{1 \over 2}  y{\rm{ }} + {\rm{ }}2\).

Do đó phương trình có nghiệm dạng tổng quát như sau:

\(\left\{ \matrix{x \in R \hfill \cr y = - 2{\rm{x}} + 4 \hfill \cr} \right.\) hoặc \(\left\{ \matrix{x = - {1 \over 2}y + 2 \hfill \cr y \in R \hfill \cr} \right.\)

\(3x + 2y = 5 \Leftrightarrow y =  - {3 \over 2}x + {5 \over 2}\).

Do đó phương trình có nghiệm tổng quát như sau: 

\(\left\{ \matrix{
x \in R\hfill \cr
y = - {3 \over 2}x + {5 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

b) Vẽ (d₁): \(2x + y = 4\)

- Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 4\) được \(A(0; 4)\).

- Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\) được \(B(2; 0)\).

Vẽ (d₂): \(3x + 2y = 5\)

- Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {5 \over 2}\) ,ta được \(M\left( {0;{5 \over 2}} \right)\).

- Cho \(y = 0 \Rightarrow x = {5 \over 3}\) ,ta được \(N \left( {{5 \over 3};0} \right)\).

Hai đường thẳng cắt nhau tại \(D(3; -2)\).

Thay \(x = 3, y = -2\) vào từng phương trình ta được:

\(2 . 3 + (-2) = 4\) và \(3 . 3 + 2 . (-2) = 5\) (thỏa mãn)

Vậy (x = 3; y = -2) là nghiệm chung của các phương trình đã cho.

Giaibaitap.me