Bài 38 trang 56 sgk Toán 9 tập 2

Bài 38. Giải các phương trình:

a) ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x$;

b) ${x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)({x^2}-{\rm{ }}2)$;

c) ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x({x^2} + {\rm{ }}1,5)$;

d) $\frac{x(x - 7)}{3} – 1$ = $\frac{x}{2}$ - $\frac{x-4}{3}$;

e) $\frac{14}{x^{2}-9}$ = $1 - \frac{1}{3-x}$;           

f) $\frac{2x}{x+1}$ = $\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}$

Bài giải:

a)   ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }}-{\rm{ }}3x$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Delta  = 25{\rm{  - }}16 = 9,{x_1} =  - 2,{x_2} =  - {1 \over 2}$

b) ${x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)({x^2}-{\rm{ }}2)$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }}-{\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$

${\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Delta'  = 16 + 22 = 38,{x_1} = {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {38} } \over 2},{x_2} = {{ - 4 - \sqrt {38} } \over 2}$

c) ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}x({x^2} + {\rm{ }}1,5)$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}0,5{x^2} = {\rm{ }}{x^3} + {\rm{ }}1,5x$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2,5{x^2}-{\rm{ }}1,5x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}5{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0$;

${\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }}-{\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }} - 31{\rm{ }} < {\rm{ }}0$

Phương trình vô nghiệm

d) $\frac{x(x - 7)}{3}– 1$ = $\frac{x}{2}$ - $\frac{x-4}{3}$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}7} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}14x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}3x{\rm{ }}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}8$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}15x{\rm{ }}-{\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}0;$

$\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}225{\rm{ }} + {\rm{ }}112{\rm{ }} = {\rm{ }}337$

${x_1} = {{15 + \sqrt {337} } \over 4},{x_2} = {\rm{ }}{{15 - \sqrt {337} } \over 4}$

e) $\frac{14}{x^{2}-9}$ = 1 - $\frac{1}{3-x}$. Điều kiện: $x{\rm{ }} \ne {\rm{ }} \pm 3$

Phương trình được viết lại: $\frac{14}{x^{2}-9}$ = $1 + \frac{1}{x- 3}$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}14{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}0$,

${\rm{ }}\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}20{\rm{ }} = {\rm{ }}81$

Nên ${x_1} = {{ - 1 - 9} \over 2} =  - 5;{x_2} = {{ - 1 + 9} \over 2} = 4$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình có hai nghiệm ${x_1} = {\rm{ }} - 5,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4$.

f) $\frac{2x}{x+1}$ = $\frac{x^{2}-x+8}{(x+1)(x-4)}$. Điều kiện: $x ≠ -1, x ≠ 4$

Phương trình tương đương với:

$2x\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}8$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Có $a – b + c = 1 – (-7) – 8 = 0$ nên ${x_1} = - 1,{x_2} = 8$

Vì ${x_1} = - 1$không thỏa mãn điều kiện của ẩn nên: phương trình có một nghiệm là $x = 8$.

Bài 39 trang 57 sgk Toán 9 tập 2

Bài 39. Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích.

a) $(3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10)[2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0$;

b) ${x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0$;                     

c) $({x^{2}} - {\rm{ }}1)\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x$;

d) ${({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2}$.

Bài giải.

a) $(3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10)[2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 5 {\rm{ }}-{\rm{ }}3]{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow$$\left[ \matrix{ (3{x^{2}} - {\rm{ }}7x{\rm{ }}-{\rm{ }}10){\rm{ }} = {\rm{ }}0(1) \hfill \cr 2{x^2} + {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 5 } \right)x{\rm{ }} + \sqrt 5 -{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0(2) \hfill \cr} \right.$

Giải (1): phương trình $a - b + c = 3 + 7 - 10 = 0$

nên ${x_1} =  - 1,{x_2} =  - {{ - 10} \over 3} = {{10} \over 3}$

Giải (2): phương trình có $a + b + c = 2 + (1 -  \sqrt{5}) +  \sqrt{5} - 3 = 0$

nên  ${x_3} = 1,{x_4} = {{\sqrt 5  - 3} \over 2}$

b) ${x^3} + {\rm{ }}3{x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ $\Leftrightarrow {x^2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow \left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)({x^2} - {\rm{ }}2){\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow$$\left[ \matrix{ x + 3 = 0 \hfill \cr {x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \hfill \cr} \right.$

Giải ra ${x_1} = {\rm{ }} - 3,{\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }} - \sqrt 2 ,{\rm{ }}{x_{3}} = \sqrt 2$

c) $({x^{2}} - {\rm{ }}1)\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0,6{x^2} + {\rm{ }}x$ $\Leftrightarrow {\rm{ }}\left( {0,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ 0,6x + 1 = 0(1) \hfill \cr {x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0(2) \hfill \cr} \right.$

(1) ⇔ $0,6x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow {x_1} =  - {1 \over {0,6}} =  - {5 \over 3}$

(2):$\Delta  = {( - 1)^2} - 4.1.( - 1) = 1 + 4 = 5,\sqrt \Delta   = \sqrt 5,$

${x_2} = {\rm{ }}{{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}$

Vậy phương trình có ba nghiệm:

${x_1} =  - {5 \over 3},{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2},{x_3} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2}$,

d) ${({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2}$$\Leftrightarrow {\rm{ }}{({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5)^2} - {\rm{ }}{({\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5)^2} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow ({x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}5).$

$({\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} - {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}5){\rm{ }} = {\rm{ }}0$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}(2{x^2} + {\rm{ }}x)\left( {3x{\rm{ }}-{\rm{ }}10} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0$

⇔$x(2x + 1)(3x – 10) = 0$

Hoặc $x = 0$, $x = -\frac{1}{2}$ , $x = \frac{10}{3}$ 

Vậy phương trình có 3 nghiệm.

$$\Leftrightarrow {x_1} =  - {1 \over {0,6}} =  - {5 \over 3}$$

Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2

Bài 40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) $3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$;            

b) ${({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0$;

c) $x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7$;                             

d) $\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3$

Hướng dẫn: a) Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x$, ta có phương trình $3{t^2}-{\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của $t$. Thay mỗi giá trị của $t$ vừa tìm được vào đằng thức $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x$ , ta được một phương trình của ẩn $x$. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của $x$.

d) Đặt $\frac{x+1}{x} = t$ hoặc $\frac{x}{x+ 1} = t$

Bài giải:

a) $3{({x^2} + {\rm{ }}x)^2}-{\rm{ }}2({x^2} + {\rm{ }}x){\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x$, ta có:

$3{t^2}{\rm{  - }}2t{\rm{  - }}1 = 0;{t_1} = 1,{t_2} =  - {1 \over 3}$

Với ${t_1} = 1$, ta có: ${x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }}$ hay ${\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0,\Delta {\rm{  = }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{  = }}5,{\rm{ }}\sqrt \Delta   = \sqrt 5$

${x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}$

Với ${t_2}= -\frac{1}{3}$, ta có: ${x^2} + x =  - {1 \over 3}$hay $3{x^2} + 3x{\rm{  + }}1{\rm{  = }}0$:

Phương trình vô nghiệm, vì $\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}$

b) ${({x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2)^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$, ta có phương trình ${t^2} + {\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0$

Giải ra ta được ${t_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{t_2} = {\rm{ }} - 3$.

- Với ${t_1}= 2$ ta có: ${x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}2$ hay ${x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Suy ra ${x_1} = {\rm{ }}0,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}4$.

- Với ${t_2}= -3$, ta có: ${x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3$ hay ${x^2}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$.

Phương trình này vô nghiệm vì $\Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1} = 0, {x_2}= 4$.

c) $x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7$. Điều kiện: $x ≥ 0$. Đặt $t = \sqrt{x}, t ≥ 0$

Ta có:${t^2}-{\rm{ }}6t{\rm{ }}-{\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Suy ra: ${t_1}= -1$ (loại), ${t_2}= 7$

Với $t = 7$, ta có: $\sqrt{x} = 7$. Suy ra $x = 49$.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: $x = 49$

d) $\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3$. Điều kiện: $x ≠ -1, x ≠ 0$

Đặt $\frac{x}{x+ 1}$ = t, ta có: $\frac{x+1}{x}$ = $\frac{1}{t}$. Vậy ta có phương trình: $t - \frac{10}{t} – 3 = 0$

hay: ${t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }}-{\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0$. Suy ra ${t_1} = 5, {t_2} = -2$.

- Với ${t_1}= 5$, ta có $\frac{x}{x+ 1} = 5$ hay $x = 5x + 5$. Suy ra $x = -\frac{5}{4}$

-  Với ${t_2} = -2$, ta có $\frac{x}{x+ 1}= -2$ hay $x = -2x – 2$. Suy ra $x = -\frac{2}{3}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1}= -\frac{5}{4}$, ${x_2} =-\frac{2}{3}$  

Giaibaitap.me