Câu 38 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:

a) \({x^2} - 6x + 8 = 0\)

b) \({x^2} - 12x + 32 = 0\)

c) \({x^2} + 6x + 8 = 0\)

d) \({x^2} - 3x - 10 = 0\)

e) \({x^2} + 3x - 10 = 0\)

Giải

a)

\(\eqalign{
& {x^2} - 6x + 8 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr} \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 6} \cr 
{{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = 4} \right.\)

b)

\(\eqalign{
& {x_2} - 12x + 32 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 1.32 = 36 - 32 = 4 > 0 \cr} \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 12} \cr 
{{x_1}{x_2} = 32} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 4;{x_2} = 8} \right.\)

c)

\(\eqalign{
& {x^2} + 6x + 8 = 0 \cr 
& \Delta ' = {3^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr} \)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = - 6} \cr 
{{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = - 2} \right.;{x_2} = - 4\)

d)

\({x^2} - 3x - 10 = 0;a = 1;c =  - 10 \Leftrightarrow ac < 0\)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 3} \cr 
{{x_1}{x_2} = - 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = - 2} \right.;{x_2} = 5\)

e) \({x^2} + 3x - 10 = 0;a = 1;c =  - 10;ac < 0\)

Phương trình có hai nghiệm

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = - 3} \cr 
{{x_1}{x_2} = - 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = - 5} \right.\)

Câu 39 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

a) Chứng tỏ rằng phương trình \(3{x^2} + 2x - 21 = 0\) có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia

b) Chứng tỏ rằng phương trình \( - 4{x^2} - 3x + 115 = 0\) có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia

Giải

a) Thay x = -3 vào vế trái của phương trình ta có:

\(3{\left( { - 3} \right)^2} + 2\left( { - 3} \right) - 21 = 27 - 6 - 21 = 0\)

Vậy x = -3 là nghiệm của phương trình \(3{x^2} + 2x - 21 = 0\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1}{x_2} = {{ - 21} \over 3} \Rightarrow  - 3.{x_2} = {{ - 21} \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = {7 \over 3}\)

b) Thay x = 5 vào vế trái của phương trình ta có:

\( - {4.5^2} - 3.5 + 115 =  - 100 - 15 + 115 = 0\)

Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình \( - 4{x^2} - 3x + 115 = 0\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1}{x_2} = {{115} \over { - 4}} \Rightarrow 5{x_2} =  - {{115} \over 4} \Leftrightarrow {x_2} =  - {{23} \over 4}\)

Câu 40 trang 57 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x₂ của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:

a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\), biết nghiệm x₁ = 7

b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0,\) biết nghiệm x₁ = 12,5

c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0,\) biết nghiệm x₁ = -2

d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0,\) biết nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\)

Giải

a) Phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm x₁ = 7

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} =  - 35 \Rightarrow 7{x_2} =  - 35 \Leftrightarrow {x_2} =  - 5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\(\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - m \cr 
& \Rightarrow - m = 7 + \left( { - 5} \right) \Leftrightarrow - m = 2 \Leftrightarrow m = - 2 \cr} \)

Vậy m = -2 thì phương trình \({x^2} + mx - 35 = 0\) có nghiệm x₁ = 7 và nghiệm x₂ = -5

b) Phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm x₁ = 12,5

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = 13 \Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 \Leftrightarrow {x_2} = 0,5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = m \Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25\)

Vậy với m = 6,25 thì phương trình \({x^2} - 13x + m = 0\) có nghiệm x₁ = 12,5 và có nghiệm x₂ = 0,5

c) Phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x₁ = -2

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} =  - {3 \over 4} \Rightarrow  - 2 + {x_2} =  - {3 \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = {5 \over 4}\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1}{x_2} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow 2.{5 \over 4} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4} \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \cr 
& \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr 
& \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr 
& {m_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = 5 \cr 
& {m_2} = {{3 - 7} \over {2.1}} = - 2 \cr} \)

Vậy m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình \(4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\) có nghiệm x₁ = -2 và nghiệm \({x_2} = {5 \over 4}\)

d) Phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có:

\({x_1}{x_2} = {5 \over 3} \Rightarrow {1 \over 3}{x_2} = {5 \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = 5\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3}\)

\( \Rightarrow {1 \over 3} + 5 = {{2\left( {m - 3} \right)} \over 3} \Leftrightarrow 2\left( {m - 3} \right) = 16 \Leftrightarrow m - 3 = 8 \Leftrightarrow m = 11\)

Vậy m = 11 thì phương trình \(3{x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 5 = 0\) có nghiệm \({x_1} = {1 \over 3}\) và nghiệm \({x_2} = 5\).

Câu 41 trang 58 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 14; uv = 40

b) \(u + v =  - 7;uv = 12\)

c) \(u + v =  - 5;uv =  - 24\)

d) \(u + v = 4,uv = 19\)

e) \(u - v = 10,uv = 24\)

f) \({u^2} + {v^2} = 85,uv = 18\)

Giải

a) Hai số u và v có u + v = 14, uv = 40 nên nó là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& {x^2} - 14x + 40 = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 1.40 = 49 - 40 = 9 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr} \)

\({x_1} = {{7 + 3} \over 1} = 10;{x_2} = {{7 - 3} \over 1} = 4\)

Vậy hai số: u = 10; v = 4 hoặc u = 4; v = 10

b) Hai số u và v có u + v = -7 và uv = 12 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} + 7x + 12 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {7^2} - 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr 
& {x_1} = {{ - 7 + 1} \over {2.1}} = - 3 \cr 
& {x_2} = {{ - 7 - 1} \over {2.1}} = - 4 \cr} \)

Vậy hai số: u = -3; v = -4 hoặc u = -4; v = -3.

c) Hai số u và v có u + u = -5, uv = -24 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} + 5x - 24 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 24} \right) = 25 + 96 = 121 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11 \cr 
& {x_1} = {{ - 5 + 11} \over {2.1}} = 3 \cr 
& {x_2} = {{ - 5 - 11} \over {2.1}} = - 8 \cr} \)

Vậy hai số u = 3; v = -8 hoặc u = -8; v = 3

d) Hai số u và v có u + v = 4, uv = 19 nên nó là nghiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 19 = 0\)

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.19 = 4 - 19 =  - 15 < 0\)

Phương trình vô nghiệm, không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán

e) Hai số u và v có u – v = 10 và uv = 24 suy ra: u + (-v) = 10 và u(-v) = -24 nên hai số u và –v là nghiệm của phương trình \({x^2} - 10x - 24 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.\left( { - 24} \right) = 25 + 24 = 49 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \cr 
& {x_1} = {{5 + 7} \over 1} = 12 \cr 
& {x_2} = {{5 - 7} \over 1} = - 2 \cr} \)

Hai số: u = 12; -v = -2 ⇒ v = 2 hoặc u = -2; v = -12 ⇒ v = -12

Vậy: u = 12; v = 2 hoặc u = -2; v = -12

f) Hai số u và v có \({u^2} + {v^2} = 85\) và uv = 18 suy ra: \({u^2}{v^2} = 324\) nên hai số \({u^2}\) và \({v^2}\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 85x + 324 = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( { - 85} \right)^2} - 4.1.324 = 7225 - 1296 = 5929 > 0 \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {5929} = 77 \cr 
& {x_1} = {{85 + 77} \over {2.1}} = 81 \cr 
& {x_2} = {{85 - 77} \over {2.1}} = 4 \cr} \)

Hai số: \({u^2} = 81;{v^2} = 4\) hoặc \({u^2} = 4;{v^2} = 81\)

⇒ u = ± 9; v = ± 2 hoặc u = ± 2; v = ± 9

Vì uv = 18 nên u và v cùng dấu ta có:

Nếu u = 9 thì v = 2 hoặc u = -9 thì v = -2

Nếu u = 2 thì v = 9 hoặc nếu u = -2 thì v = -9

Giaibaitap.me