Câu 34 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép:

a) \(5{x^2} + 2mx - 2m + 15 = 0\)

b) \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\)

Giải

a) Phương trình \(5{x^2} + 2mx - 2m + 15 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta ' = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta ' = {m^2} - 5\left( { - 2m + 15} \right) = {m^2} + 10m - 75 \cr
& \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 10m - 75 = 0 \cr
& \Delta 'm = {5^2} - 1.\left( { - 75} \right) = 25 + 75 = 100 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta 'm} = \sqrt {100} = 10 \cr
& {m_1} = {{ - 5 + 10} \over 1} = 5 \cr
& {m_2} = {{ - 5 - 10} \over 1} = - 15 \cr} \)

Vậy với m = 5 hoặc m = -15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép.

b) Phương trình \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(m \ne 0\) và \(\Delta ' = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m.\left( { - 8} \right) \cr
& = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 8m \cr
& = 4{m^2} - 8m + 4 + 8m \cr
& = 4{m^2} + 4 \cr
& \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4 = 0 \cr} \)

Ta có \(4{m^2} \ge 0 \Rightarrow 4{m^2} + 4 \ge 0\) với mọi m

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép.

Câu 5.1 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0. Điều nào sau đây là đúng?

A) \({x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\)

B) \({x_1} = {x_2} =  - {{b'} \over a}\)

C) \({x_1} = {x_2} =  - {b \over a}\)

D) \({x_1} = {x_2} =  - {{b'} \over {2a}}\)

Giải

Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0

Chọn B: \({x_1} = {x_2} =  - {{b'} \over a}\)

Câu 5.2 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm.

Giải

Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({b^2} + {c^2} \ne 0\) và \(\Delta ' \ge 0\)

\({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra b và c không đồng thời bằng 0.

\(\eqalign{
& \Delta ' = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \cr 
& = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr 
& = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr 
& = {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr 
& \Delta ' \ge 0 \Rightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \))

Vì \({b^2} \ge 0 \Rightarrow  - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\)

Vậy với \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 5.3 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) luôn có nghiệm.

Giải

\(\eqalign{
& \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx + bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc + ac = 0 \cr 
& \Delta ' = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right) \cr 
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc - 3ab - 3ac - 3bc \cr 
& = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \cr 
& = {1 \over 2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right) \cr 
& = {1 \over 2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)} \right] \cr 
& = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \cr} \)

Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra: \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow \Delta ' = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\)

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.

Giaibaitap.me