Câu 84 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = 3a. trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho

 AD = DE = EC.

a) Chứng minh: ${{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}$

b) Chứng minh ∆BDE  đồng dạng  ∆CDB

c) Tính tổng $\widehat {AEB} + \widehat {BCD}$ bằng hai cách

Cách 1: sử dụng kết quả ở câu b);

Cách 2: Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng lượng giác.

Gợi ý làm bài

a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:

$B{D^2} = A{D^2} + A{B^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}$

Suy ra: $BD = a\sqrt 2$

Ta có: 

$\eqalign{ & {{DE} \over {DB}} = {a \over {a\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}; \cr  & {{DB} \over {DC}} = {{a\sqrt 2 } \over {2a}} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr}$

Vậy ${{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}$

b) Xét ∆BDE và ∆CDB, ta có:

${{DE} \over {DB}} = {{DB} \over {DC}}\,(1)$

$\widehat {BDE} = \widehat {BDC}\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra ∆BDE đồng dạng ∆CDB.

c) * Cách 1:

Ta có: ∆BDE đồng dạng ∆CDE $\Rightarrow \widehat {BED} = \widehat {CBD}$

Mặt khác:

$\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = \widehat {BED} + \widehat {BCD} = \widehat {CBD} + \widehat {BCD}\,(3)$

Trong ∆BCD, ta có:

$\widehat {ADB} = \widehat {CBD} = \widehat {BCD}$ (tính chất góc ngoài) (4)

$\widehat {ADB} = 45^\circ$ (vì ∆ABD vuông cân tại A) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra: $\widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ$

*  Cách 2:

Trong tam giác ABC, ta có: 

$tg\widehat {AEB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}$

Suy ra: $\widehat {AEB} = 26^\circ 34'$

Trong tam giác vuông ABC, ta có: 

$tg\widehat {ACB} = {{AB} \over {AC}} = {a \over {3a}} = {1 \over 3}$

Suy ra: $\widehat {ACB} = 18^\circ 26'$

Vậy: $\widehat {AEB} + \widehat {ACB} = \widehat {AEB} + \widehat {BCD} = 45^\circ$

Câu 85 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

(h.31) Tính góc α tạo bởi hai mái nhà, biết rằng mỗi mái nhà dài 2,34m và cao 0,8m. 

Gợi ý làm bài

Hai mái nhà bằng nhau tạo thành hai cạnh của một tam giác cân. Chiều cao cảu mái nhà chia góc ở đỉnh ra thành hai phần bằng nhau.

Ta có:

$\cos {\alpha  \over 2} = {{AH} \over {AB}} = {{0,8} \over {2,34}} \approx 0,4319$

Suy ra: ${\alpha  \over 2} = 70^\circ$

Vậy $\alpha  = 140^\circ$.

Câu 86 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho hình 32. 

Biết:

$AD \bot DC,\widehat {DAC} = 74^\circ$

$\widehat {AXB} = 123^\circ ,AD = 2,8\,cm$

AX = 5,5cm, BX = 4,1cm.

a) Tính AC.

b) Gọi Y là điểm trên AX sao cho DY ⁄⁄ BX. Hãy tính XY

c) Tính diện tích tam giác BCX

Gợi ý làm bài

a) Trong tam giác vuông ACD, ta có:

$AC = {{AD} \over {\cos \widehat {CAD}}} = {{2,8} \over {\cos 74^\circ }} \approx 10,158\,(cm)$

b) Kẻ $DN \bot AC$

Trong tam giác vuông AND, ta có:

$\eqalign{ & DN = AD.\sin \widehat {DAN} \cr  & = 2,8.\sin 74^\circ \approx 2,692\,(cm) \cr}$

$\eqalign{ & AN = AD.\cos \widehat {DAN} \cr  & = 2,8.\cos 74^\circ \approx 0,772\,(cm) \cr}$

Vì BX // DY nên $\widehat {D{\rm{YX}}} = \widehat {BXY} = 123^\circ$ ( hai góc so le trong)

Mà $\widehat {DYN} + \widehat {D{\rm{YX}}} = 180^\circ$ (kề bù)

Suy ra:

$\widehat {DYN} = 180^\circ  - \widehat {D{\rm{YX}}} = 180^\circ  - 123^\circ  = 57^\circ$

Trong tam giác vuông DYN, ta có:

$\eqalign{ & NY = DN.\cot g\widehat {DYN} \cr  & \approx 2,692.\cot g57^\circ \approx 1,748\,(cm) \cr}$

Ta có: 

$\eqalign{ & XY = AX - (AN + NY) \cr  & = 5,5 - (0,772 + 1,748) = 2,98\,(cm) \cr}$

c) Ta có:

$CX = AC - AX \approx 10,158 - 5,5 = 4,658\,(cm)$

Kẻ $BM \bot CX$

Ta có:

$\widehat {BXC} = 180^\circ  - \widehat {BXA} = 180^\circ  - 123^\circ  = 57^\circ$

Trong tam giác vuông BMX, ta có:

$\eqalign{ & BM = BX.\sin \widehat {BXC} \cr  & = 4,1.\sin 57^\circ \approx 3,439\,(cm) \cr}$

$\eqalign{ & {S_{BCX}} = {1 \over 2}BM.CX \cr  & = {1 \over 2}.3,439.4,658 = 8,009\,\left( {c{m^2}} \right). \cr}$

Câu 87 trang 120 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tam giác ABC có $\hat A = 20^\circ ,\widehat B = 30^\circ ,AB = 60cm$. Đường vuông góc kẻ từ C đến AB cắt AB tại P. (h.33).

Hãy tìm:

a) AP, BP;

b) CP.

Gợi ý làm bài

a) Trong tam giác vuông ACP, ta  có:

$AP = CP.\cot g\widehat {PAC}\,(1)$

Trong tam giác vuông BCP, ta có:

$BP = CP.\cot g\widehat {PBC}\,(2)$

Từ (1) và (2) suy ra:

$(AP + BP) = CP.\cot g\widehat {PAC} + CP.\cot g\widehat {PBC}$

Hay $AB = CP(\cot g\widehat {PAC} + \cot g\widehat {PBC})$

Suy ra: 

$\eqalign{ & CP = {{AB} \over {\cot g\widehat {PAC} + \cot g\widehat {PBC}}} \cr  & = {{AB} \over {\cot g20^\circ + \cot g30^\circ }} \approx 13,394\,(cm) \cr}$

b) Thay CP = 13,394 vào  (1) ta có:

$AP = 13,394.\cot g20^\circ  \approx 36,801\,(cm)$

Thay CP = 13,394 vào  (2) ta có:

$BP = 13,394.\cot g30^\circ  \approx 27,526\,(cm)$

Giaibaitap.me