Câu 96 trang 121 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm, 9cm. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. 

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE.

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và tại E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.

c) Tính diện tích tứ giác DENM.

Gợi ý làm bài

a) Ta có: 

\(HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \)

\(HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \)

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:

\(\eqalign{
& A{H^2} = HB.HC = 4.9 = 36 \cr 
& \Rightarrow AH = 6\,(cm) \cr} \)

Vậy DE = 6 (cm)

b) * Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra tam giác GHD cân tại G

Ta có:

\(\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,(1)\)

\(\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,(2)\)

\(\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,(4)\)

Suy ra tam giác MDH cân tại M \( \Rightarrow MD = MH\,(5)\)

Lại có: \(\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,(6)\)

\(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \) (∆BDH vuong tại D) (7)

Từ (4), (6) và (7) suy ra: \(\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\)

Suy ra tam giác MBD cân tại M \( \Rightarrow MB = MD\,(8)\)

 Từ (5) và (8) suy ra: MB = MH hay M là trung điểm của BH.

*Tam giác GHE cân tại G

Ta có: \(\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,(9)\)

\(\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \) (10)

\(\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (11)

Từ (9), (10) và (11) suy ra: \(\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\) (12)

Suy ra tam giác NEH cân tại n \( \Rightarrow NE = NH\) (13)

Lại có: \(\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (14)

\(\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \) (∆CEH vuông tại E) (15)

Từ (12), (14) và (15) suy ra: \(\widehat {NDC} = \widehat {NCE}\)

Suy ra tam giác NCE cân tại N \( \Rightarrow NC = NE\,(16)\)

Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.

c) Tam giác BDH vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

\(DM = {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2\,(cm)\)

Tam giác CEH vuông tại E có EN là đường trung tuyến nên

\(EN = {1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5\,(cm)\)

Mà \(MD \bot DE\) và \NE \bot DE\) nên MD // NE

Suy ra tứ giác DENM  là hình thang

Vậy 

\(\eqalign{
& {S_{DENM}} = {{DM + NE} \over 2}.DE \cr 
& = {{2 + 4,5} \over 2}.6 = 19,5 \cr} \) (cm²).

Câu 97 trang 121 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông ở A, $\widehat C = 30^\circ ,BC = 10cm.$

a) Tính AB, AC.

b) Từ A kẻ AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B.

Chứng minh:

MN // BC và MN = AB.

c) Chứng minh hai tam giác MAB và ABC đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Gợi ý làm bài

a) Trong tam giác vuông ABC, ta có:

\(AB = BC.\sin \widehat C = 10.\sin 30^\circ  = 10.{1 \over 2} = 5\,(cm)\)

\(AC = BC.\cos \widehat C = 10.\cos 30^\circ  = 10.{{\sqrt 3 } \over 2} = 5\sqrt 3 \,(cm)\)

b) Ta có:

\(BM \bot BN$ (tính chất hai góc kề bù) $ \Rightarrow \widehat {MBN} = 90^\circ \,(1)\)

\(AM \bot BM\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {AMB} = 90^\circ \,(2)\)

\(AN \bot BN\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {ANB} = 90^\circ \,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

Suy ra: ∆AMB = ∆NBM (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {NMB}\)

Mà \(\widehat {ABM} = \widehat {MBC}\,(gt)\)

Suy ra: \(\widehat {NMB} = \widehat {MBC}\)

Suy ra MN // BC (có cặp so le trong bằng nhau)

Vì AMBN là hình chữ nhật nên AB = MN.

c) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat B + \widehat C = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat B = 90^\circ  - \widehat C = 90^\circ  - 30^\circ  = 60^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {ABM} = {1 \over 2}\widehat B = {1 \over 2}.60^\circ  = 30^\circ \)

Xét hai tam giác ABC và MAB, ta có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {AMB} = 90^\circ \)

\(\widehat {ACB} = \widehat {ABM} = 30^\circ \)

Suy ra ∆ABC đồng dạng với ∆MAB (g.g)

Tỉ số đồng dạng: \(k = {{AB} \over {BC}} = {5 \over {10}} = {1 \over 2}\)

Câu 98 trang 122 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. tính các góc \(\widehat B,\widehat C\). Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. tính các góc  và đường cao AH của tam giác.

b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho \({S_{ABC}} = {S_{BMC}}.\)

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(A{B^2} = {6^2} = 36\)

\(A{C^2} = 4,{5^2} = 20,25\)

\(B{C^2} = 7,{5^2} = 56,25\)

Vì \(A{B^2} + A{C^2} = 36 + 20,25 = 56,25 = B{C^2}\) nên tam giác ABC vuông tại A ( theo định lí Pi-ta-go).

Kẻ \(AH \bot BC\)

Ta có: \(AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{6.4,5} \over {7,5}} = 3,6\,(cm)\)

\(\sin \widehat C = {{AC} \over {BC}} = {{4,5} \over {7,5}} = 0,6\)

Suy ra: \(\widehat C = 58^\circ 8'\)

Ta có:

\(\widehat B + \widehat C = 90^\circ  \Rightarrow B = 90^\circ  - \widehat C = 90^\circ  - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'\)

b) Tam giác ABC và tam giác MBC có chung cạnh đáy BC, đồng thời \({S_{ABC}} = {S_{MBC}}\)  nên khoảng cách từ M đến BC bằng khoảng cách từ A đến BC. Vậy M thay đổi cách BC một khoảng bằng AH nên M nằm trên hai đường x và y song song với BC cách BC một khoảng bằng AH.

Câu 99 trang 122 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Gọi AM, BN, CL là ba đường cao của tam giác ABC. Chứng minh:

a) ∆ANL  đồng dạng ∆ABC;

b) AN.BL.CM = AB.BC.CA.cosA.cosB.cosC.

Gợi ý làm bài

a) Xét hai tam giác BNA và CLA, ta có:

\(\widehat {BNA} = \widehat {CLA} = 90^\circ \)

\(\widehat A\) chung

Suy ra ∆BNA đồng dạng ∆CLA (g.g)

Suy ra: \({{AL} \over {AN}} = {{AC} \over {AB}} \Rightarrow {{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)

Xét hai tam giác ABC và ANL, ta có:

\({{AL} \over {AC}} = {{AN} \over {AB}}\)

\(\widehat A\) chung

Suy ra ∆ABC đồng dạng ∆ANL (c.g.c

b) ABN vuông tại N nên \(AN = AB.\cos \widehat B\,(1)\)

∆BCL vuông tại L nên \(BL = BC.\cos \widehat B\,(2)\)

∆ACM vuông tại M nên \(CM = AC.\cos \widehat C\,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

\(AN.BL.CM = AB.BC.CA.\cos \widehat A\cos \widehat B\cos \widehat C.\)

Giaibaitap.me