Câu 63 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh:

a) \({{\left( {x\sqrt y  + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = x - y\)

với x > 0 và y > 0;

b) \({{\sqrt {{x^3}}  - 1} \over {\sqrt x  - 1}} = x + \sqrt x  + 1\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\({{\left( {x\sqrt y  + y\sqrt x } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = {{\left( {\sqrt {{x^2}y}  + \sqrt {x{y^2}} } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }}\)

\( = {{\sqrt {xy} \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)} \over {\sqrt {xy} }} = \left( {\sqrt x  + \sqrt y } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt y } \right)\)

\( = {\left( {\sqrt x } \right)^2} - {\left( {\sqrt y } \right)^2} = x - y\)

(với x > 0 và y > 0)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Vì x > 0 nên \(\sqrt {{x^3}}  = {\left( {\sqrt x } \right)^3}\)

Ta có:

\({{\sqrt {{x^3}}  - 1} \over {\sqrt x  - 1}} = {{{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} - {1^3}} \over {\sqrt x  - 1}} = {{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)} \over {\sqrt x  - 1}}\)

\( = x + \sqrt x  + 1$ với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\).

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 64 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

a) Chứng minh:

\(x + 2\sqrt {2x - 4}  = {\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) với \(x \ge 2\);

b) Rút gọn biểu thức:

\(\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \) với \(x \ge 2\).

Gợi ý làm bài

a) Ta có:

\(\eqalign{
& x + 2\sqrt {2x - 4} = x + 2\sqrt {2\left( {x - 2} \right)} \cr 
& = 2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2} + x - 2 \cr} \)

\( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2.\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + {\left( {\sqrt {x - 2} } \right)^2}\)

\( = {\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)^2}\) (với \(x \ge 2\))

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b) Ta có:

\(\sqrt {x + 2\sqrt {2x - 4} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {2x - 4} } \)

\( = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + x - 2}  + \sqrt {2 - 2\sqrt 2 .\sqrt {x - 2}  + x - 2} \)

\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - \sqrt x  - 2} \right)}^2}} \)

\( = \left| {\sqrt 2  + \sqrt {x - 2} } \right| + \left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right|\)

\( = \sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right|\)

- Nếu \(\sqrt 2  - \sqrt {x - 2}  \ge 0\) thì 

\(\eqalign{
& \sqrt {x - 2} \le \sqrt 2 \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \cr 
& \Leftrightarrow x - 2 \le 2 \Leftrightarrow x \le 4 \cr} \)

Với \(2 \le x \le 4\) thì \(\left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt 2  - \sqrt {x - 2} \)

Ta có: \(\sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \sqrt 2  - \sqrt {x - 2}  = 2\sqrt 2 \)

- Nếu \(\sqrt 2  - \sqrt {x - 2}  < 0\) thì 

\(\sqrt {x - 2}  > \sqrt 2  \Leftrightarrow x - 2 > 2 \Leftrightarrow x > 4\)

Với x > 4 thì \(\left| {\sqrt 2  - \sqrt {x - 2} } \right| = \sqrt {x - 2}  - \sqrt 2 \)

Ta có: \(\sqrt 2  + \sqrt {x - 2}  + \sqrt {x - 2}  - \sqrt 2  = 2\sqrt {x - 2} \)

Câu 65 trang 15 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Tìm x, biết:

a) \(\sqrt {25x}  = 35\);

b) \(\sqrt {4x}  \le 162\);

c) \(3\sqrt x  = \sqrt {12} \);

d) \(2\sqrt x  \ge 10\).

Gợi ý làm bài

\(\eqalign{
& a)\,\sqrt {25x} = 35 \Leftrightarrow 5\sqrt x = 35 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt x = 7 \Leftrightarrow x = 49 \cr} \)

\(\eqalign{
& b)\,\sqrt {4x} \le 162 \Leftrightarrow 2\sqrt x \le 162 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt x \le 81 \Leftrightarrow x \le 6561 \cr} \)

Suy ra : \(0 \le x \le 6561\)

\(\eqalign{
& b)\,3\sqrt x = 12 \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt 3 \cr 
& \Leftrightarrow \sqrt x = {2 \over 3}\sqrt 3 \Leftrightarrow x = {\left( {{2 \over 3}\sqrt 3 } \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow x = - {4 \over 3} \cr} \)

d) \(2\sqrt x  \ge \sqrt {10}  \Leftrightarrow \sqrt x  \ge {{\sqrt {10} } \over 2} \Leftrightarrow x = {5 \over 2}\)

Giaibaitap.me