Bài 47 trang 27 sgk Toán 9 - tập 1

Bài 47. Rút gọn:

a) \({2 \over {{x^2} - {y^2}}}\sqrt {{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over 2}} \) với x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ y

b) \({2 \over {2{\rm{a}} - 1}}\sqrt {5{{\rm{a}}^2}\left( {1 - 4{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \right)}\) với a > 0,5.

Hướng dẫn giải:

a) 

\(\eqalign{
& {2 \over {{x^2} - {y^2}}}\sqrt {{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over 2}} \cr
& = {2 \over {{x^2} - {y^2}}}\left| {x + y} \right|\sqrt {{3 \over 2}} \cr
& {{x + y} \over {{x^2} - {y^2}}}\sqrt {{2^2}.{3 \over 2}} = {{\sqrt 6 } \over {x - y}} \cr} \)

vì x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ y nên x + y > 0

b) 

\(\eqalign{
& {2 \over {2{\rm{a}} - 1}}\sqrt {5{{\rm{a}}^2}\left( {1 - 4{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \cr
& = {2 \over {2{\rm{a}} - 1}}\sqrt {5{{\rm{a}}^2}{{\left( {1 - 2{\rm{a}}} \right)}^2}} \cr
& = {{2\left| a \right|.\left| {1 - 2{\rm{a}}} \right|\sqrt 5 } \over {2{\rm{a}} - 1}} \cr
& = {{2.a\left( {2{\rm{a}} - 1} \right)\sqrt 5 } \over {2{\rm{a}} - 1}} = 2\sqrt 5 a \cr} \)

Vì a > 0,5 nên a > 0; 1 - 2a < 0

Bài 48 trang 29 sgk Toán 9 - tập 1

Bài 48. Khử mẫu của biểu thức lấy căn 

\(\sqrt{\frac{1}{600}};\,\,\sqrt{\frac{11}{540}};\,\,\sqrt{\frac{3}{50}};\,\,\sqrt{\frac{5}{98}}; \,\,\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}.\)

Hướng dẫn giải:

\(\sqrt{\frac{1}{600}}=\sqrt{\frac{1.6}{6.6.10.10}}=\frac{\sqrt{6}}{60}\)

\(\sqrt{\frac{11}{540}}=\sqrt{\frac{11.15}{6.6.15.15}}=\frac{\sqrt{165}}{90}\)

\(\sqrt{\frac{3}{50}}=\sqrt{\frac{3.2}{5.5.2.2}}=\frac{\sqrt{6}}{10}\)

\(\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\frac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1).\sqrt{3}}{9}\)

Bài 49 trang 29 sgk Toán 9 - tập 1

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

\(ab\sqrt{\frac{a}{b}};\,\,\, \frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}.\)

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

Hướng dẫn giải:

\(\sqrt{\frac{a}{b}}\) có nghĩa khi \(\frac{a}{b}\geq 0\) và \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.\)

Nếu \(a\geq 0, b> 0\) thì \(ab\sqrt{\frac{a}{b}}=a\sqrt{ab}.\)

Nếu \(a<0,b<0\) thì \(ab\sqrt{\frac{a}{b}}=-a\sqrt{ab}.\)

Tương tự như vậy ta có: \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ba}}{b}.\)

Nếu \(a>0,b>0\) thì \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}\frac{\sqrt{ba}}{\left | a \right |}.\)

Nếu \(a<0,b<0\) thì  \(\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=-\frac{\sqrt{ba}}{b}.\)

Ta có: \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{b+1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{\left | b \right |}.\)

Điều kiện để căn thức có nghĩa là \(b+1\geq 0\) hay \(b\geq -1.\) 

Do đó:

Nếu b>0 thì \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{ b }.\)

Nếu \(-1\leq b< 0\) thì \(\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=-\frac{\sqrt{b+1}}{b}.\)

Điều kiện để \(\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}\) có nghĩa là \(\frac{9a^{3}}{36b}\geq 0\) hay \(\frac{a}{b}\geq 0\)

Cách 1. 

\(\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{4b}}=\frac{\sqrt{4a^{3}b}}{4\left | b \right |}=\frac{\sqrt{4a^{2}\cdot ab}}{4\left | b \right |}=\frac{2\left | a \right |\sqrt{ab}}{4b}.\)

=\(\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.\)

Cách 2.

Biến mẫu thành một bình phương rồi áp dụng quy tắc khai phương một thương:

\(\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b}{4b^{2}}}=\frac{\sqrt{a^{3}b}}{\sqrt{ab^{2}}}=\frac{\left | a \right |\sqrt{ab}}{2\left | b \right |}=\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.\)

Điều kiện để \(\sqrt{\frac{2}{xy}}\) có nghĩa là \(\frac{2}{xy}\geq 0\) hay xy>0.

Do đó 

\(3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{\left | xy \right |}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}.\)

Bài 50 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

\(\frac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \frac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \frac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \frac{y+b\cdot \sqrt{y}}{b\cdot \sqrt{y}}.\)

Hướng dẫn giải:

\(\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}\)

\(\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2.5}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)

\(\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{20}}{3.20}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}\)

\(\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}+2)}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}\)

\(\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}+b}{b}\)

Giaibaitap.me