Bài 47 trang 27 sgk Toán 9 - tập 1

Bài 47. Rút gọn:

a) ${2 \over {{x^2} - {y^2}}}\sqrt {{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over 2}}$ với x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ y

b) ${2 \over {2{\rm{a}} - 1}}\sqrt {5{{\rm{a}}^2}\left( {1 - 4{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \right)}$ với a > 0,5.

Hướng dẫn giải:

a) 

$\eqalign{ & {2 \over {{x^2} - {y^2}}}\sqrt {{{3{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over 2}} \cr & = {2 \over {{x^2} - {y^2}}}\left| {x + y} \right|\sqrt {{3 \over 2}} \cr & {{x + y} \over {{x^2} - {y^2}}}\sqrt {{2^2}.{3 \over 2}} = {{\sqrt 6 } \over {x - y}} \cr}$

vì x ≥ 0; y ≥ 0 và x ≠ y nên x + y > 0

b) 

$\eqalign{ & {2 \over {2{\rm{a}} - 1}}\sqrt {5{{\rm{a}}^2}\left( {1 - 4{\rm{a}} + 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \cr & = {2 \over {2{\rm{a}} - 1}}\sqrt {5{{\rm{a}}^2}{{\left( {1 - 2{\rm{a}}} \right)}^2}} \cr & = {{2\left| a \right|.\left| {1 - 2{\rm{a}}} \right|\sqrt 5 } \over {2{\rm{a}} - 1}} \cr & = {{2.a\left( {2{\rm{a}} - 1} \right)\sqrt 5 } \over {2{\rm{a}} - 1}} = 2\sqrt 5 a \cr}$

Vì a > 0,5 nên a > 0; 1 - 2a < 0

Bài 48 trang 29 sgk Toán 9 - tập 1

Bài 48. Khử mẫu của biểu thức lấy căn 

$\sqrt{\frac{1}{600}};\,\,\sqrt{\frac{11}{540}};\,\,\sqrt{\frac{3}{50}};\,\,\sqrt{\frac{5}{98}}; \,\,\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}.$

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{\frac{1}{600}}=\sqrt{\frac{1.6}{6.6.10.10}}=\frac{\sqrt{6}}{60}$

$\sqrt{\frac{11}{540}}=\sqrt{\frac{11.15}{6.6.15.15}}=\frac{\sqrt{165}}{90}$

$\sqrt{\frac{3}{50}}=\sqrt{\frac{3.2}{5.5.2.2}}=\frac{\sqrt{6}}{10}$

$\sqrt{\frac{(1-\sqrt{3})^{2}}{27}}=\frac{|1-\sqrt{3}|}{3\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1).\sqrt{3}}{9}$

Bài 49 trang 29 sgk Toán 9 - tập 1

Khử mẫu của biểu thức lấy căn

$ab\sqrt{\frac{a}{b}};\,\,\, \frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}};\,\,\, \sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}};\,\,\,\ \sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}};\,\,\, 3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}.$

(Giả thiết các biểu thức có nghĩa).

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{\frac{a}{b}}$ có nghĩa khi $\frac{a}{b}\geq 0$ và $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{\left | b \right |}.$

Nếu $a\geq 0, b> 0$ thì $ab\sqrt{\frac{a}{b}}=a\sqrt{ab}.$

Nếu $a<0,b<0$ thì $ab\sqrt{\frac{a}{b}}=-a\sqrt{ab}.$

Tương tự như vậy ta có: $\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{\sqrt{ba}}{b}.$

Nếu $a>0,b>0$ thì $\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}\frac{\sqrt{ba}}{\left | a \right |}.$

Nếu $a<0,b<0$ thì  $\frac{a}{b}\sqrt{\frac{b}{a}}=-\frac{\sqrt{ba}}{b}.$

Ta có: $\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{\frac{b+1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{\left | b \right |}.$

Điều kiện để căn thức có nghĩa là $b+1\geq 0$ hay $b\geq -1.$ 

Do đó:

Nếu b>0 thì $\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=\frac{\sqrt{b+1}}{ b }.$

Nếu $-1\leq b< 0$ thì $\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{b^{2}}}=-\frac{\sqrt{b+1}}{b}.$

Điều kiện để $\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}$ có nghĩa là $\frac{9a^{3}}{36b}\geq 0$ hay $\frac{a}{b}\geq 0$

Cách 1. 

$\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}}{4b}}=\frac{\sqrt{4a^{3}b}}{4\left | b \right |}=\frac{\sqrt{4a^{2}\cdot ab}}{4\left | b \right |}=\frac{2\left | a \right |\sqrt{ab}}{4b}.$

=$\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.$

Cách 2.

Biến mẫu thành một bình phương rồi áp dụng quy tắc khai phương một thương:

$\sqrt{\frac{9a^{3}}{36b}}=\sqrt{\frac{a^{3}b}{4b^{2}}}=\frac{\sqrt{a^{3}b}}{\sqrt{ab^{2}}}=\frac{\left | a \right |\sqrt{ab}}{2\left | b \right |}=\frac{1}{2}\left | \frac{a}{b} \right |\sqrt{ab}=\frac{a\sqrt{ab}}{2b}.$

Điều kiện để $\sqrt{\frac{2}{xy}}$ có nghĩa là $\frac{2}{xy}\geq 0$ hay xy>0.

Do đó 

$3xy\sqrt{\frac{2}{xy}}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{\left | xy \right |}=3xy\frac{\sqrt{2xy}}{xy}=3\sqrt{2xy}.$

Bài 50 trang 30 sgk Toán 9 - tập 1

Trục căn thức ở mẫu với giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa:

$\frac{5}{\sqrt{10}};\,\,\, \frac{5}{2\sqrt{5}};\,\,\, \frac{1}{3\sqrt{20}};\,\,\, \frac{2\sqrt{2}+2}{5\sqrt{2}};\,\,\, \frac{y+b\cdot \sqrt{y}}{b\cdot \sqrt{y}}.$

Hướng dẫn giải:

$\frac{5}{\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{2}$

$\frac{5}{2\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{2.5}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\frac{1}{3\sqrt{20}}=\frac{\sqrt{20}}{3.20}=\frac{2\sqrt{5}}{60}=\frac{\sqrt{5}}{30}$

$\frac{\sqrt{2}(2\sqrt{2}+2)}{5.2}=\frac{4+2\sqrt{2}}{10}=\frac{2+\sqrt{2}}{5}$

$\frac{y+b\sqrt{y}}{b\sqrt{y}}=\frac{\sqrt{y}+b}{b}$

Giaibaitap.me