Câu 3.2 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số:

a) \({x^2} - 3x + 1 = 0\)

b) \({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0\)

c) \(5{x^2} - 7x + 1 = 0\)

d) \(3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0\)

Giải

a) \({x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} - 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow x - {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x - {3 \over 2} =  - {{\sqrt 5 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\)

b) \({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = 1 + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {3 \over 2} \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x + {{\sqrt 2 } \over 2} =  - {{\sqrt 6 } \over 2}\)

\( \Leftrightarrow x = {{ - \sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x =  - {{\sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{ - \sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2};{x_2} =  - {{\sqrt 2  + \sqrt 6 } \over 2}\)

c)

\(\eqalign{
& 5{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} - {1 \over 5} \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {x - {7 \over {10}}} \right)^2} = {{29} \over {100}} \Leftrightarrow \left| {x - {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \cr} \)

\( \Leftrightarrow x - {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x - {7 \over {10}} =  - {{\sqrt {29} } \over {10}}\)

\( \Leftrightarrow x = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc  \(x = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};{x_2} = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\)

d)

\(\eqalign{
& 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x - {2 \over 3} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {2 \over 3} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \cr 
& \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = 1 \cr 
& \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1\) hoặc \(x + {{\sqrt 3 } \over 3} =  - 1\)

\( \Leftrightarrow x = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\) hoặc \(x =  - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3};{x_2} =  - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\)

Câu 3.3 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm b, c để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là những số dưới đây:

a) \({x_1} =  - 1\) và \({x_2} = 2\)

b) x₁ = -5 và x₂ = 0

c) \({x_1} = 1 + \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 - \sqrt 2 \)

d) x₁ = 3 và \({x_2} =  - {1 \over 2}\)

Giải

a) Hai số -1 và 2 là ngiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr} \)

Hệ số: b = -1; c = -2.

b) Hai số - 5 và 0 là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x + 5} \right)\left( {x + 0} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 0 \cr} \)

Hệ số: b = 5; c = 0

c) Hai số \(1 + \sqrt 2 \) và \(1 - \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left[ {x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \cr} \)

Hệ số: b = -2; c = -1

d) Hai số 3 và \( - {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình:

\(\eqalign{
& \left( {x - 3} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + {1 \over 2}x - 3x - {3 \over 2} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \cr} \)

Hệ số: b = -5; c = -3

Câu 3.4 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm a, b, c để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là x₁ = -2 và x₂ = 3.

Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán?

Giải

x = -2 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\), ta có:

\(4a - 2b + c = 0\)

x = 3 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\) ta có:

\(9a + 3b + c = 0\)

Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a - 2b + c = 0} \cr 
{9a + 3b + c = 0} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5a + 5b = 0} \cr 
{4a - 2b + c = 0} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - a} \cr 
{4a - 2\left( { - a} \right) + c = 0} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - a} \cr 
{c = - 6a} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy với mọi a ≠ 0 ta có:

\(\left\{ {\matrix{
a \cr 
{b = - a} \cr 
{c = - 6a} \cr} } \right.\)

thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm x₁ = -2; x₂ = 3

Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình:

\(\eqalign{
& 2{x^2} - 2x - 12 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \)

Có nghiệm: \({x_1} =  - 2;{x_2} = 3\)

Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giaibaitap.me