Câu 24 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép:

a) \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\)

b) \(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)

Giải

a) \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\)

Phương trình có nghiệm số kép

\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m \ne 0} \cr 
{\Delta = 0} \cr} } \right.\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.m.2 \cr 
& = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 8m \cr 
& = 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) \cr 
& \Delta = 0 \Rightarrow 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 1 = 0 \cr 
& \Delta m = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.1 = 16 - 4 = 12 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta m} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \cr 
& {m_1} = {{4 + 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 3 \cr 
& {m_2} = {{4 - 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 3 \cr} \)

Vậy với \(m = 2 + \sqrt 3 \) hoặc \(m = 2 - \sqrt 3 \) thì phương trình đã cho có nghiệm số kép.

b) \(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\)

Phương trình có nghiệm số kép \( \Leftrightarrow \Delta  = 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.3.4 = {m^2} + 2m + 1 - 48 = {m^2} + 2m - 47 \cr 
& \Delta = 0 \Rightarrow {m^2} + 2m - 47 = 0 \cr 
& \Delta m = {2^2} - 4.1\left( { - 47} \right) = 4 + 188 = 192 > 0 \cr 
& \sqrt {\Delta m} = \sqrt {192} = 8\sqrt 3 \cr 
& {m_1} = {{ - 2 + 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = 4\sqrt 3 - 1 \cr 
& {m_2} = {{ - 2 - 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = - 1 - 4\sqrt 3 \cr} \)

Vậy với \(m = 4\sqrt 3  - 1\) hoặc \(m =  - 1 - 4\sqrt 3 \) thì phương trình có nghiệm số kép.

Câu 25 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo m:

a) \(m{x^2} + \left( {2x - 1} \right)x + m + 2 = 0\)

b) \(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\)

Giải

a) \(m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m + 2 = 0\)

Nếu m = 0 ta có phương trình: \( - x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)

Nếu m ≠ 0 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) \cr 
& = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} - 8m \cr 
& = - 12m + 1 \cr 
& \Delta \ge 0 \Rightarrow - 12m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \le {1 \over {12}} \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {1 - 12m} \cr 
& {x_1} = {{ - \left( {2m - 1} \right) + \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m + \sqrt {1 - 12m} } \over {2m}} \cr 
& {x_2} = {{ - \left( {2m - 1} \right) - \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m - \sqrt {1 - 12m} } \over {2 + }} \cr} \)

b) \(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\)  

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  \ge 0\)

\(\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - \left( {4m + 3} \right)} \right]^2} - 4.2\left( {2{m^2} - 1} \right) \cr 
& = 16{m^2} + 24m + 9 - 16{m^2} + 8 \cr 
& = 24m + 17 \cr 
& \Delta \ge 0 \Rightarrow 24m + 17 \ge 0 \Leftrightarrow m > - {{17} \over {24}} \cr 
& \sqrt \Delta = \sqrt {24m + 17} \cr 
& {x_1} = {{4m + 3 + \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr 
& {x_2} = {{4m + 3 - \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr} \)

Câu 26 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Vì sao khi phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có các hệ số a và c trái dấu thì nó có nghiệm?

Áp dụng. Không tính ∆, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm:

a) \(3{x^2} - x - 8 = 0\)

b) \(2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5  = 0\)

c) \(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2  - \sqrt 3  = 0\)

d) \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\)

Giải

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\)

a và c trái dấu \( \Rightarrow ac < 0\) suy ra \( - ac > 0 \Rightarrow  - 4ac > 0\)

\(\Delta  = {b^2} - 4ac\) ta có \({b^2} \ge 0\); \( - 4ac > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0\)

\( \Rightarrow \Delta  = {b^2} - 4ac > 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Áp dụng:

a) \(3{x^2} - x - 8 = 0\)

Có a = 3; c = -8 ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) \(2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5  = 0\)

Có a = 2004; c = \( - 1185\sqrt 5 \) ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

c) \(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2  - \sqrt 3  = 0\)

Có \(a = 3\sqrt 2  > 0;c = \sqrt 2  - \sqrt 3  < 0\) (vì \(\sqrt 2  < \sqrt 3 \))

⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\)

Nếu m = 0 phương trình có dạng  có 2 nghiệm

Nếu \(m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow  - {m^2} < 0\)

\(a = 2010 > 0;c =  - {m^2} < 0 \Rightarrow ac < 0.\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi m ∈ R thì phương trình \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt. 

Giaibaitap.me