Bài 31 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 31. Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a) \(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);          

b) \(\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

c) \(\left( {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

d) \(\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}\left( {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) với \(m ≠ 1\).
Bài giải:

a) Phương trình \(1,5{x^2}-{\rm{ }}1,6x{\rm{ }} + {\rm{ }}0,1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Có \(a + b + c = 1,5 – 1,6 + 0,1 = 0\) nên \({x_1} = 1;{x_2} = {\rm{ }}{{0,1} \over {15}} = {1 \over {150}}\)

b) Phương trình \(\sqrt 3 {x^2}-{\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right)x{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Có \(a – b + c = \sqrt{3} + (1 - \sqrt{3}) + (-1) = 0\) nên \({x_1} =  - 1,{x_2} =  - {{ - 1} \over {\sqrt 3 }} = {\rm{ }}{{\sqrt 3 } \over 3}\)

c) \(\left( {2{\rm{ }} - {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){x^2} + {\rm{ }}2\sqrt 3 x{\rm{ }}-{\rm{ }}\left( {2{\rm{ }} + {\rm{ }}\sqrt 3 } \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Có \(a + b + c = 2 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} – (2 + \sqrt{3}) = 0\)

Nên \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{ - (2 + \sqrt 3 )} \over {2 - \sqrt 3 }} =  - {(2 + \sqrt 3 )^2} =  - 7 - 4\sqrt 3 \)

d) \(\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}\left( {2m{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Có \(a + b + c = m – 1 – (2m + 3) + m + 4 = 0\)

Nên \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}\)

Bài 32 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 32. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) \(u + v = 42\), \(uv = 441\);                        

b) \(u + v = -42\), \(uv = -400\);

c) \(u – v = 5\), \(uv = 24\).

Bài giải:

a) \(u + v = 42\), \(uv = 441\) => \(u, v\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2}-{\rm{ }}42x{\rm{ }} + {\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{21^2}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }}-{\rm{ }}441{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\({\rm{ }}\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}0;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}21\)

Vậy \(u = v = 21\)

b) \(u + v = -42, uv = -400\), \(u, v\) là nghiệm của phương trình:

\({x^2} + {\rm{ }}42x{\rm{ }}-{\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\(\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ }}441{\rm{ }} + {\rm{ }}400{\rm{ }} = {\rm{ }}841\)

\(\sqrt {\Delta '} {\rm{ }} = {\rm{ }}29;{\rm{ }}{x_1} = {\rm{ }}8,{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }} - 50\).

Do đó: \(u = 8, v = -50\) hoặc \(u = -50, v = 8\)

c) \(u – v = 5, uv = 24\). Đặt \(–v = t\), ta có \(u + t = 5, ut = -24\), ta có \(u,t\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 5x - 24 = 0\)

Giải ra ta được: \({x_1} = {\rm{ 8}},{\rm{ }}{x_2} = {\rm{  - 3}}\)

Vậy \(u = 8, t = -3\) hoặc \(u = -3, t = 8\).

Do đó: \(u = 8, v = 3\) hoặc \(u = -3, t = 8\).

Bài 33 trang 54 sgk Toán 9 tập 2

Bài 33. Chứng tỏ rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1}\) và \({x_2}\) thì tam thức  \(a{x^2} + bx + c \) phân tích được thành nhân tử như sau:

\(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).

Áp dụng. Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)\(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3\)

b) \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\)

Bài giải:

Biến đổi vế phải: \(a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}){\rm{ }} = {\rm{ }}a{x^2}-{\rm{ }}a({x_1} + {\rm{ }}{x_2})x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{x_1}{x_2}\)

\( = a{x^2} - a\left( { - {b \over a}} \right)x + a{c \over a} = a{x^2} + bx + c\)

Vậy phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm là \({x_1},{x_2}\) thì:

            \(a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})\).      

Áp dụng:

a) Phương trình \(2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có \(a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0\) nên có hai nghiệm là \({x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2}\) nên:

\(2{x^2}{\rm{  + }}5x + 3 = 2(x{\rm{ - }}1)(x - {\rm{ }}{3 \over 2}) = (x - 1)(2x - 3)\)

b) Phương trình  \({\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2\) có \(a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2\).

Nên \(\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10\), có hai nghiệm là:

\({x_1}\) = \(\frac{-4 - \sqrt{10}}{3}\), \({x_2}\)= \(\frac{-4 + \sqrt{10}}{3}\)

nên: \(3{x^2} + 8x + 2 = 3(x - {\rm{ }}{{ - 4 - \sqrt {10} } \over 3})(x - {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {10} } \over 3})\)

\( = 3(x + {\rm{ }}{{4 + \sqrt {10} } \over 3})(x + {\rm{ }}{{4 - \sqrt {10} } \over 3})\)

Giaibaitap.me