Câu 19 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của a và b để hai đường thằng (d₁): \(\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56\) và (d₂): \({1 \over 2}ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3\) cắt nhau tại điểm M(2; -5).

Giải

Hai đường thẳng (d₁): \(\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56\) và (d₂): \({1 \over 2}ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3\) cắt nhau tại điểm M(2; -5) nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{
{\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56} \cr 
{{1 \over 2}ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3} \cr} } \right.\)

Thay x = 2 và y = -5 vào hệ phương trình ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {3a - 1} \right)2 + 2b\left( { - 5} \right) = 56} \cr 
{{1 \over 2}a.2 - \left( {3b + 2} \right).\left( { - 5} \right) = 3} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a - 10b = 58} \cr 
{a + 15b = - 7} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 7 - 15b} \cr 
{3\left( { - 7 - 15b} \right) - 5b = 29} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 7 - 15b} \cr 
{ - 50b = 50} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 7 - 15b} \cr 
{b = - 1} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 8} \cr 
{b = - 1} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy hằng số a = 8; b = -1.

Câu 20 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm a và b:

a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A (-5; 3), \(B\left( {{3 \over 2}; - 1} \right)\);

b) Để đường thẳng \(ax - 8y = b\) đi qua điểm M (9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d₁): \(2x + 5y = 17,\) (d₂): \(4x - 10y = 14\)

Giải

a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3) và \(B\left( {{3 \over 2}; - 1} \right)\); nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng:

Điểm A: 3 = -5a + b

Điểm B: \( - 1 = {3 \over 2}a + b \Leftrightarrow 3a + 2b =  - 2\)

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 5a + b = 3} \cr 
{3a + 2b = - 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr 
{3a + 2\left( {3 + 5a} \right) = - 2} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr 
{13a = - 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr 
{a = - {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - {1 \over {13}}} \cr 
{a = - {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy hệ số \(a =  - {8 \over {13}};b =  - {1 \over {13}}\)

Đường thẳng cần tìm \(y =  - {8 \over {13}}x - {1 \over {13}}\)

b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d₁): \(2x + 5y = 17,\) (d₂): \(4x - 10y = 14\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr 
{4x - 10y = 14} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr 
{2x - 5y = 7} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{7 + 5y} \over 2}} \cr 
{2\left( {{{7 + 5y} \over 2}} \right) + 5y = 17} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{7 + 5y} \over 2}} \cr 
{10y = 10} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{7 + 5y} \over 2}} \cr 
{y = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 6} \cr 
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)

Giao điểm của (d₁) và (d₂): A(6; 1)

Đường thẳng ax – 8y = b đi qua hai điểm M(9; -6) và A(6; 1) nên tọa độ của A và M nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Điểm M: 9a + 48 = b

Điểm A: 6a – 8 = b

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{9a + 48 = b} \cr 
{6a - 8 = b} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr 
{9a + 48 = 6a - 8} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr 
{3a = - 56} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr 
{a = - {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - 120} \cr 
{a = - {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy hằng số \(a =  - {{56} \over 3};b =  - 120\).

Câu 21 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của m:

a) Để hai đường thẳng (d₁): \(5x - 2y = 3,\) (d₂): \(x + y = m\) cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.

b) Để hai đường thẳng (d₁): \(mx + 3y = 10\), (d₂): \(x - 2y = 4\) cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng  một mặt phẳng tọa độ.

Giải

a) Đường thẳng (d₁): \(5x - 2y = 3,\) (d₂): \(x + y = m\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên giao điểm có hoành độ bằng 0.

Ta có: B(0; y) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{
{5.0 - 2y = 3} \cr 
{0 + y = m} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {3 \over 2}} \cr 
{m = - {3 \over 2}} \cr} } \right.\)

Vậy \(m =  - {3 \over 2}\) thì (d₁) cắt (d₂) tại một điểm trên trục tung.

(d₂): \(x + y =  - {3 \over 2}\)

Vẽ (d₂): Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - {3 \over 2}\left( {0; - {3 \over 2}} \right)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x =  - {3 \over 2}\left( { - {3 \over 2};0} \right)\)

Vẽ (d₁): \(5x - 2y = 3\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - {3 \over 2}\left( {0; - {3 \over 2}} \right)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = {3 \over 5}\left( {{3 \over 5};0} \right)\)

b) Đường thẳng (d₁): mx + 3y = 10 và đường thẳng (d₂): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành nên tung độ giao điểm bằng 0.

Ta có: A(x; 0) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{mx + 3.0 = 10} \cr 
{x - 2.0 = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{mx = 10} \cr 
{x = 4} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m = {5 \over 2}} \cr 
{x = 4} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy \(m = {5 \over 2}\) thì (d₁) cắt (d₂) tại 1 điểm trên trục hoành.

(d₁): \({5 \over 2}x + 3y = 10 \Leftrightarrow 5x + 6y = 20\)

Vẽ (d₁): Cho  \(x = 0 \Rightarrow y = {{10} \over 3}\left( {0;{{10} \over 3}} \right)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 4\left( {4;0} \right)\)

Vẽ \(\left( {{d_2}} \right):x - 2y = 4\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y =  - 2\left( {0; - 2} \right)\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 4\left( {4;0} \right)\).

Giaibaitap.me