Câu 29 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax – by = 4 đi qua hai điểm A (4; 3), B(-6; -7).

Giải

Đường thẳng ax – by = 4 đi qua A(4; 3) và B(-6; -7) nên tọa độ A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.

Điểm A: 4a – 3b = 4

Điểm B: - 6a + 7b = 4

Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a - 3b = 4} \cr 
{ - 6a + 7b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12a - 9b = 12} \cr 
{ - 12a + 14b = 8} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5b = 20} \cr 
{4a - 3b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 4} \cr 
{4a - 3.4 = 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 4} \cr 
{4a = 16} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 4} \cr 
{a = 4} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy hằng số a = 4; b = 4.

Câu 30 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Giải các hệ phương trình sau theo hai cách (cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng

\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr 
{a'x + b'y = c'} \cr} } \right.\);

cách thứ hai: đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x – 2 = s, 3y + 2 = t):

\(a)\left\{ {\matrix{
{2\left( {3x - 2} \right) - 4 = 5\left( {3y + 2} \right)} \cr 
{4\left( {3x - 2} \right) + 7\left( {3y + 2} \right) = - 2} \cr} } \right.\)

\(b)\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 5\left( {x - y} \right) = 12} \cr 
{ - 5\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 11} \cr} } \right.\)

Giải

a) Cách 1:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2\left( {3x - 2} \right) - 4 = 5\left( {3y + 2} \right)} \cr 
{4\left( {3x - 2} \right) + 7\left( {3y + 2} \right) = - 2} \cr} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x - 4 - 4 = 15y + 10} \cr 
{12x - 8 + 21y + 14 = - 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x - 15y = 18} \cr 
{12x + 21y = - 8} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12x - 30y = 36} \cr 
{12x + 21y = - 8} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x - 15y = 18} \cr 
{51y = - 44} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x - 5y = 6} \cr 
{y = - {{44} \over {51}}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 6 - {{220} \over {51}}} \cr 
{y = - {{44} \over {51}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = {{86} \over {51}}} \cr 
{y = - {{44} \over {51}}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{43} \over {51}}} \cr 
{y = - {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr} \)

Cách 2: Đặt 3x – 2 = s, 3y + 2 = t ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2s - 4 = 5t} \cr 
{4s + 7t = - 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4s - 10t = 8} \cr 
{4s + 7t = - 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{17t = - 10} \cr 
{2s - 5t = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = - {{10} \over {17}}} \cr 
{2s - 5t = 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = - {{10} \over {17}}} \cr 
{2s - 5.\left( { - {{10} \over {17}}} \right) = 4} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = - {{10} \over {17}}} \cr 
{2s = 4 - {{50} \over {17}}} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = - {{10} \over {17}}} \cr 
{s = {9 \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3x - 2 = {9 \over {17}}} \cr 
{3y + 2 = - {{10} \over {17}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x = 2 + {9 \over {17}}} \cr 
{3y = - {{10} \over {17}} - 2} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x = {{43} \over {17}}} \cr 
{3y = - {{44} \over {17}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{43} \over {51}}} \cr 
{y = - {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = \(\left( {{{43} \over {51}}; - {{44} \over {51}}} \right)\)

b) Cách 1:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 5\left( {x - y} \right) = 12} \cr 
{ - 5\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 11} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x + 3y + 5x - 5y = 12} \cr 
{ - 5x - 5y + 2x - 2y = 11} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8x - 2y = 12} \cr 
{ - 3x - 7y = 11} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4x - y = 6} \cr 
{3x + 7y = - 11} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12x - 3y = 18} \cr 
{12x + 28y = - 44} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{31y = - 62} \cr 
{4x - y = 6} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr 
{4x + 2 = 6} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr 
{x = 1} \cr} } \right. \cr} \)

Cách 2: Đặt x + y = s; x – y = t ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3s + 5t = 12} \cr 
{ - 5s + 2t = 11} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{15s + 25t = 60} \cr 
{ - 15s + 6t = 33} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{31t = 93} \cr 
{ - 5s + 2t = 11} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = 3} \cr 
{ - 5s + 2.3 = 11} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = 3} \cr 
{s = - 1} \cr} } \right. \cr} \)

Suy ra:

\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{x + y = - 1} \cr 
{x - y = 3} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 2} \cr 
{x - y = 3} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr 
{1 - y = 3} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr 
{y = - 2} \cr} } \right. \cr} \)

Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) =  (1; -2).

Câu 31 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\matrix{
{{{x + 1} \over 3} - {{y + 2} \over 4} = {{2\left( {x - y} \right)} \over 5}} \cr 
{{{x - 3} \over 4} - {{y - 3} \over 3} = 2y - x} \cr} } \right.\)

cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1.

Giải

Giải hệ phương trình:

\(\eqalign{
& \left( I \right)\left\{ {\matrix{
{{{x + 1} \over 3} - {{y + 2} \over 4} = {{2\left( {x - y} \right)} \over 5}} \cr 
{{{x - 3} \over 4} - {{y - 3} \over 3} = 2y - x} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{20x + 20 - 15y - 30 = 24x - 24y} \cr 
{3x - 9 - 4y + 12 = 24y - 12x} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4x - 9y = - 10} \cr 
{15x - 28y = - 3} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{60x - 135y = - 150} \cr 
{60x - 112y = - 12} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{ - 23y = - 138} \cr 
{4x - 9y = - 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr 
{4x - 9.6 = - 10} \cr
} } \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr 
{4x = 44} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr 
{x = 11} \cr} } \right. \cr} \)

Cặp (x; y) = (11; 6) là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1

Thay x = 11; y = 6 ta có:

\(33m - 30 = 2m + 1 \Leftrightarrow 31m = 31 \Leftrightarrow m = 1\)

Vậy với m = 1 thì nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của phương trình:

3mx – 5y = 2m + 1.

Giaibaitap.me