Bài 1 trang 11 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Cánh diều: 

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào là mệnh đề toán học?

a) Tích hai số thực trái dấu là một số thực âm.

b) Mọi số tự nhiên đều là dương.

c) Có sự sống ngoài Trái Đất

d) Ngày 1 tháng 5 là ngày Quốc tế Lao động.

Lời giải:

Mệnh đề toán học là một phát biểu khẳng định về một sự kiện trong toán học. 

Vậy trong các phát biểu đã cho thì phát biểu a, b là các mệnh đề toán học. 

Bài 2 trang 11 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Cánh diều:

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

a) A: “\(\frac{5}{{1,2}}\) là một phân số”.

b) B: “Phương trình \({x^2} + 3x + 2 = 0\) có nghiệm”.

c) C: “\({2^2} + {2^3} = {2^{2 + 3}}\)”.

d) D: “Số 2 025 chia hết cho 15”.

Lời giải: 

a) Phủ định của mệnh đề A: “\(\frac{5}{{1,2}}\) là một phân số”  là mệnh đề \(\overline A \): “\(\frac{5}{{1,2}}\) không là một phân số”, mệnh đề phủ định này sai do A đúng. 

Ta thấy \(\frac{5}{{1,2}}\) có mẫu số  là 1, 2∉ ℤ. Do đó \(\frac{5}{{1,2}}\) không là một phân số nên mệnh đề A là sai còn mệnh đề phủ định \(\overline A \) là đúng.

b) Phủ định của mệnh đề B: “Phương trình x² + 3x + 2 = 0 có nghiệm” là mệnh đề \(\overline B \): “Phương trình x² + 3x + 2 = 0 vô nghiệm”.

Ta có x² + 3x + 2 = 0 là phương trình bậc hai có ∆ = 3² – 4 . 1 . 2 = 9 – 8 = 1 > 0 nên phương trình có nghiệm, vậy mệnh đề B đúng nên mệnh đề \(\overline B \) sai.

c) Phủ định của mệnh đề C: “2² + 2³ = 2^{2 + 3}” là mệnh đề \(\overline C \): “2² + 2³ ≠ 2^{2 + 3}”.

Ta có: 2² + 2³ = 4 + 8 = 12

          2^{2 + 3}  = 2⁵ = 32

Do đó 2² + 2³ ≠ 2^{2 + 3}  

Vậy mệnh đề C sai và mệnh đề \(\overline C \) đúng.

d) Phủ định của mệnh đề D: “Số 2 025 chia hết cho 15” là mệnh đề \(\overline D \): “Số 2 025 không chia hết cho 15”.

Ta có: 2 025 : 15 = 135 nên 2 025 chia hết cho 15.

Vậy mệnh đề D đúng nên mệnh đề phủ định \(\overline D \) sai.

Bài 3 trang 11 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Cánh diều:

Cho n là số tự nhiên. Xét các mệnh đề:

P: “n là một số tự nhiên chia hết cho 16”.

Q: “n là một số tự nhiên chia hết cho 8”.

a) Phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\). Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

b) Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\). Nhận xét tính đúng sai của mệnh đề đó.

Phương pháp: 

Mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\) được phát biểu là: “Nếu P thì Q”.

Mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là mệnh đề \(Q \Rightarrow P\), phát biểu là: “Nếu Q thì P”.

Lời giải:

a) Với n = 32, ta có các mệnh đề P, Q khi đó là:

P: “Số tự nhiên 32 chia hết cho 16”;

Q: “Số tự nhiên 32 chia hết cho 8”;

Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu số tự nhiên 32 chia hết cho 16 thì số tự nhiên 32 chia hết cho 8”.

Đây là mệnh đề đúng vì 32 chia hết cho 16 và 8.

b) Với n = 40, ta có các mệnh đề P, Q khi đó là:

P: “Số tự nhiên 40 chia hết cho 16”;

Q: “Số tự nhiên 40 chia hết cho 8”;

Mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q là mệnh đề Q ⇒ P: “Nếu số tự nhiên 40 chia hết cho 8 thì số tự nhiên 40 chia hết cho 16”.

Mệnh đề đảo này là mệnh đề sai. Vì 40 chia hết cho 8 nhưng 40 không chia hết cho 16.

Bài 4 trang 11 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Cánh diều:

Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề:

P: “Tam giác ABC cân”.

Q: “Tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”.

Phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) bằng bốn cách.

Lời giải:

Phát biểu mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) bằng bốn cách như sau: 

Cách 1: “Tam giác ABC cân tương đương tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”. 

Cách 2: “Tam giác ABC cân là điều kiện cần và đủ để có tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”. 

Cách 3: “Tam giác ABC cân khi và chỉ khi tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”. 

Cách 4: “Tam giác ABC cân nếu và chỉ nếu tam giác ABC có hai đường cao bằng nhau”. 

Bài 5 trang 11 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Cánh diều:

Dùng kí hiệu “\(\forall \)” hoặc “\(\exists \)” để viết các mệnh đề sau:

a) Có một số nguyên không chia hết cho chính nó.

b) Mọi số thực cộng với 0 đều bằng chính nó.

Phương pháp: 

a) Viết mệnh đề về dạng “\(\exists x \in X,\;P(x)\)”.

b) Viết mệnh đề về dạng “\(\forall x \in X,\;P(x)\)”.

Lời giải:

a) Mệnh đề đã cho được viết là: “ \(\exists x \in Z\), x không chia hết cho x”.

b) Mệnh đề đã cho được viết là: “ \(\exists x \in R\), x + 0 = x”.

Bài 6 trang 11 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Cánh diều:

Phát biểu các mệnh đề sau:

a) \(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \ge 0\)

b) \(\exists x \in \mathbb{R},\;\dfrac{1}{x} > \;x.\)

Lời giải:

a) Mệnh đề “ \(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \ge 0\)” được phát biểu như sau: “Mọi số thực đều có bình phương không âm”.

b) Mệnh đề “ \(\exists x \in \mathbb{R},\;\dfrac{1}{x} > \;x.\)” được phát biểu là: “Tồn tại số thực sao cho nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó”.

Bài 7 trang 11 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Cánh diều:

Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của mỗi mệnh đề phủ định đó:

a) \(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \ne 2x - 2\)

b) \(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \le 2x - 1\)

c) \(\exists x \in \mathbb{R},\;x + \frac{1}{x} \ge 2\)

d) \(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} - x + 1 < 0\)

Lời giải:

a) Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \ne 2x - 2\)” là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} = 2x - 2\)”

Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} = 2x - 2\)” sai vì \({x^2} \ne 2x - 2\)với mọi số thực x ( vì \({x^2} - 2x + 2 = {(x - 1)^2} + 1 > 0\) hay \({x^2} > 2x - 2\)).

b) Phủ định của mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} \le 2x - 1\)” là mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} > 2x - 1\)”

Mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} > 2x - 1\)” đúng vì có \(x = 2 \in \mathbb{R}:{2^2} >  2.2 - 1\) hay \(4 > 3\) (luôn đúng).

c) Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;x + \frac{1}{x} \ge 2\)” là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;x + \frac{1}{x} < 2\)”.

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;x + \frac{1}{x} < 2\)” sai vì \(x = 2 \in \mathbb{R}\) nhưng \(x + \frac{1}{x} = 2 + \frac{1}{2} > 2\).

d) Phủ định của mệnh đề “\(\exists x \in \mathbb{R},\;{x^2} - x + 1 < 0\)” là mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} - x + 1 \ge 0\)”.

Mệnh đề “\(\forall x \in \mathbb{R},\;{x^2} - x + 1 \ge 0\)” đúng vì \({x^2} - x + 1 = {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge 0\) với mọi số thực x.

 Giaibaitap.me